kを実数の定数とする。複素数平面上の異なる3点A(1+3i),B(ki),C(1+5i)が半径√5の

kを実数の定数とする。複素数平面上の異なる3点A(1+3i),B(ki),C(1+5i)が半径√5の円上にある。このときの円の中心とkの値を求めよ。✳kの値は２つある

この問題を教えてほしいです。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/01/01 22:24

円の中心をDとする。

DはA,Cから等距離だから、線分ACの垂直二等分線上にあるからy=4にある。AD=CD=√5からD=－1+4i、またはD=3+4iとなるが、
D=3+4iとすると円は点Bを通らないので、
D=－1+4iである。BD=|－1+4i－ki|=√(1+(4－k)²)=√5からk=2または6となる。
Bは2iと6iである。

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2018/12/31 13:49

計算用紙が手元にあれば複素数平面上にA,B,Cをプロットしてみればいいんだ。

実際に描いてみるとA,Cを通る円の中心は線分ACの垂直二等分線上にあると気が付ける。
ACの中点が1+4iになるのもわかるだろう。そこからさらに垂直二等分線がパラメータtを用いてt+4iで表すことが出来るというのもわかるだろう。
円の半径√5を満たすときt=1±2=3,-1というのも三平方の定理を使って求められる。
3+4iから√5の距離のところに虚数軸はないので-1+4iについて考えればよくてここから距離√5の点を虚数軸上に取れば2iと6iの二つがBとわかります。