参考書の解答とやり方が違ったので添削お願いします。 (2)の問題です。 問題 (1)√2は無理数であ

参考書の解答とやり方が違ったので添削お願いします。

(2)の問題です。
問題
(1)√2は無理数であることを証明せよ。
(2)√2、√3、√6を項として含むような等差数列は存在しないことを証明せよ。

写真見えにくかったらごめんなさい。

この場合⑨の左辺が無理数であることを証明した方が良いですか？(1)の結果も使えてないですし減点ですかね？
でも証明を入れるとスマートじゃないような気が…

ご教示お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/10 14:40

あっ、(1)で√2が無理数で有る事を証明してるんだね。

だったら、それを使う。

貴方の最後の結論に無理がある。
√3、√6が無理数である事証明してないし、仮に無理数だとしても
最後の()内の (3√2-√6-?√3)がたまたま有理数になるかも知れない。

では、早速

(√3-√2)=nd
(√6-√2)=md [m,nは整数　dは公差] と書けるから

(√3-√2)/(√6-√2)=n/m

m(√3-√2)=n(√6-√2)
(n-m)√2=n√6-m√3

両辺を2乗すると
2(n-m)²=6n²+3m²-2n√18=6n²+3m²-6n√2

∴√2={6n²+3m²-2(n-m)²}/6n

m,nは整数だったから、右辺は有理数。
左辺は(1)で無理数である事が解っているから、矛盾。

∴この様な等差数列は存在すると言う過程が間違い。
だから(2)が言える。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/10 12:58

ですね。

(√3-√2)/(√6-√3)が無理数かどうかは自明では無いから証明が要ります。
これは相当厄介だから、解説通りの方がいいんじゃ無い？

√6、√3が等差数列でいきなり出てくるから、話を簡単にすると解り易い。

(√3-√2)=nd
(√6-√3)=md [m,nは整数　dは公差]

∴(√3-√2)/(√6-√3)=n/m

m(√3-√2)=n(√6-√3)
n√6=(m+n)√3-m√2

両辺を2乗すると
6n²=3(m+n)²+2m²-2m(m+n)√6

√6={3(m+n)²-4m²} / 2m(m+n)
m,nは整数だったから、右辺は有理数
∴√6は有理数

って、変でしょう？

だから、(√3-√2)/(√6-√3)が無理数だと言う、チャントした証明が要ります。