数Bです。この問題の和の求め方を教えてください！

数Bです。この問題の和の求め方を教えてください！

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/15 14:52

Σ[K=1～n-1]の意味は　その後に続く式にK=1、K=2・・・K=n-1を順番に代入していった式を並べて＋記号で結ぶという事だから（１）はこの意味の通りにすると

(1)=(n-1)+(n-2)+(n-3)+・・・+{n-(n-1)}・・・①
(n-1)、(n-2)、(n-3)、・・・、{n-(n-1)}は
初項n-1、公差-1の項数-1の等差数列だからその和である①は　等差数列の和の公式より
(n-1)+(n-2)+(n-3)+・・・+{n-(n-1)}＝(1/2)x(項数)x(初項+末項)
=(1/2)x(n-1)x[(n-1)+{n-(n-1)}]
=(1/2)x(n-1)x[n]
=(1/2)n(n-1)

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2019/01/15 14:36

Σ(N+M)=ΣN+ΣM は分かりますか。

(1) Σ(n-k)=Σn-Σk 。
　　k=1 → n-1 では、Σn=n(n-1), Σk=(1/2)n(n-1) 。
∴ n(n-1)-(1/2)n(n-1)=(1/2)n(n-1) 。

(2) Σ2n(3n+3)=Σ(6n²+6n)=6Σn²+6Σn 。
n=1 → n では、Σn=(1/2)n(n+1) 、Σn²=(1/6)n(n+1)(2n+1) 。
　　∴ n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)=2n(n+1)(n+2) 。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/15 00:29

高校の教科書に載っている方法は、

(1)　Σ[k=1〜n](n-k) = nΣ[k=1〜n]1 - Σ[k=1〜n]k
(2)　Σ[k=1〜n]2k(3k+3) = 6Σ[k=1〜n]k^2 + 6Σ[k=1〜n]k
と変形して、
Σ[k=1〜n]k,Σ[k=1〜n]k^2 の公式を利用するものです。

高校生のころ、私は暗記物が苦手で、
Σ[k=1〜n]k^2,Σ[k=1〜n]k^3 などの公式が
覚えられませんでした。その代わりに使っていたのが
Σ[k=1〜n]k(k+1)(k+2)…(k+m-1) = {1/(m+1)}n(n+1)(n+2)…(n+m)
という公式です。
k(k+1)(k+2)…(k+m)　-　(k-1)k(k+1)…(k+m-1)
= k(k+1)(k+2)…(k+m-1)・{ (k+m) - (k-1) }　　←中央m個の因子で括る
= (m+1)・k(k+1)(k+2)…(k+m-1)　　←{ }部分からkが消える
という計算を覚えておけば、
この式の両辺を Σ[k=1〜n] することで導けます。
∫(x^m)dx = {1/(m+1)}x^(m+1) と似た雰囲気がありますね。

こちらの公式を使うには、
(2)　Σ[k=1〜n]2k(3k+3) = 6Σ[k=1〜n]k(k+1)
から適用すればいい。

多項式のΣは、どれも同じ方法で計算できます。
Σ[k=1〜n]k^2 の公式も、
Σ[k=1〜n]k^2 = Σ[k=1〜n]k(k+1) - Σ[k=1〜n]k
= (1/3)n(n+1)(n+2) - (1/2)n(n+1)
= (1/6)n(n+1){ 2(n+2) - 3 }
= (1/6)n(n+1)(2n-1)
と導けますよ。

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/14 22:48

1) n Σ k;1… n-1 (1) ーΣk;1… n-1 (k)

n・∫ 1…n-1 k〔0〕ー∫ 1…n-1 k^〔1〕

=n・［ k ］n→1 ー(1/2)［ k(kー1) ］n→1

=n(nー1)ー(1/2)・n(nー1)

=n(nー1)/2 ……No1計算間違い！

2) 2k(3k+3)=6k(k+1)=6・(k+1)〔2〕より
= Σ 1…n 2k(3k+3) =6・∫1…n (k+1)〔2〕⊿k
=6・(1/3)［ (k+1)〔3〕］n+1 →1
=2(n+2)(n+1)n

定和分から！〔n〕は差分の記号です！

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/14 22:16

(1)順番に書いて見る

(n-1)+(n-2)+(n-3)+・・・・+(n-(n-1)) 項数はn-1個

()を外して順番を変えると
(n+n+・・・+n) - (1+2+3+・・・+n-1)

左の()内はnをn-1個足すから、n(n-1)
[nを2個足すのをn×2、3個足すのをn×3と書く：掛け算の定義]

右の()内は、公式を使って(n-1)(n-2)/2

足すと、n(n-1)+(n-1)(n-2)/2=(n-1)(3n-2)/2

(2)
2n(3n+3)=6n²+6n

Σ(6n²+6n)を公式を使って計算する。

=6Σn²+6Σn （Σn²の公式、Σnの公式を教科書をめくって調べろ！