放物線y=2x² を平行移動した曲線で、2点(-2,0)(‎3,0)を通る。この二次関数を求めよ。

放物線y=2x² を平行移動した曲線で、2点(-2,0)(‎3,0)を通る。この二次関数を求めよ。

という問について質問です。解答は｢一般形 y=ax² +bx+c｣を用いると書いてあるのですが、「基本形 y=a(x-p)+q」を用いては答えを求められないのですか？

No.8 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/01/26 04:22

放物線y=2x² を平行移動した曲線で、2点(-2,0)(‎3,0)を通る。

この二次関数を求めよ。

あなたの解き方はきわめて自然な解き方だと思います。
放物線y=2x² をx方向にｐ、ｙ方向にqだけ平行移動した曲線は
y=2(x－p)²+ｑになるから。
2点(-2,0)(‎3,0)を通ることから、この2点の中点(1/2，0)を放物線の軸が通るから、
p=1/2がわかる。(‎3,0)を通るようにx=3，y=0を代入すると
0=2(3－1/2)²+q=0からq=－2(5/2)²=－25/2となる。
y=2(x－1/2)²－25/2が答えである。
解答は｢一般形 y=ax²+bx+c｣を用いるというので展開すれば
y=2x²－2x－24/2=2x²－2x－12となる。
解答は｢一般形 y=ax²+bx+c｣を用いるという但し書きがあるので、No.1の解法が若干早いが、
但し書きが完全平方型または、平行移動型であったら、この解法の方が早い。

No.7 回答者： springside 回答日時： 2019/01/20 10:24

求められるよ。

ただ、計算が面倒なので、そのやり方をするのは頭が悪い。

この問題であれば、xの2次の係数が2で、y=0の解が-2、3であることがすぐに判るから、
答は、y=2(x+2)(x-3)=2x²-2x-12と秒殺できる。それなのに、なぜ他の方法を使う必要が
あるのか意味不明。

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2019/01/16 13:06

＞「基本形 y=a(x-p)+q」を用いては・・・

基本形 y=a(x-p)+q　ではなく y=a(x-p)²+q ですね。
これでも求められますが、一般的に 計算が面倒になります。

問題の 2点 (-2, 0);(3, 0) は x 軸上にある点ですから、
ax²+bx+c=0 の解が x=-2, 3 と云うことになります。
これを使う方が 楽に答えにたどり着けることになります。

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2019/01/16 09:41

x軸との交点が x=ー2,3だから

y=2(x+2)(xー3) ＝２ｘ²－２ｘ－１２

「基本形 y=a(x-p)²+q」は平方完成のことで関係ありません。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/15 22:34

求められますよ。

基本形 y=a(x-p)^2+q に(x,y)=(-2,0),(3,0) を代入して
連立方程式から放物線を決定する場合、
y=2x^2 を平行移動して y=a(x-p)^2+q なのだから
a=2 はわかるとして、p,q の連立方程式が
0=2(-2-p)^2+q,
0=2(3-p)^2+q.
２乗を展開して
0=8+8p+2p^2+q,
0=18-12p+2p^2+q.　…[*]
p,q の連立二次方程式なんだけれど、
2p^2+q がカタマリで現れるから
まとめて c=2p^2+q と見れば、
0=8+8p+c,
0=18-12p+c.
となって、p,c の連立一次方程式になる。
これを解いて p=1/2, c=-12.
求める方程式は y=2(x-p)^2+q=2x^2-4px+(p^2+q)
だから y=2x^2-2x-12. ほら、求まった。

[*]の方程式を、更に b=-4p も使って置き換えると
0=8-2b+c,
0=18+3b+c.
となっていて、これは
y=2x^2+bx+c に (x,y)=(-2,0),(3,0) を代入したものと
全く同じ式なのでした。そりゃそうだ。
2x^2+bx+c=2(x-p)^2+q なのだからね。

ま、どちらの解法よりも、No.1さんのが簡単で瞬殺
なことに変わりはないのだけれど。

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2019/01/15 19:51

出来ないことは無い。

でも面倒。

てか、どういうことなのか頭の中で放物線のイメージができていますか？
それができているなら、なぜ「面倒」なのか分かると思うんです。
そしてイメージできれば、「一般形 y=ax² +bx+c」を使う意味も分かるでしょう。

・・・

＞2点(-2,0)(‎3,0)を通る。
ってことで、同じｙの値をとる点が、ｘ座標 -2 と 3 を通るってことだから、
放物線の頂点はその中間にあることは分かる。
　ｘ＝0.5
だな。
んじゃ、後は面倒だからｘが正の値をとる事だけを考えて、
ｘが３のとき、すなわち、ｘが最小の座標から ”2.5” 増やしたときにｙはいくつになるかを考えればいい。
　2×2.5×2.5
ってことだから
　12.5
だな。
この時、ｙ座標が0になるようになればいいわけだ。

ね？
面倒でしょ。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/01/15 19:33

>「基本形 y=a(x-p)+q」を用いては答えを求められないのですか？

少し工夫が必要。
軸の位置がわかる場合を除きこの形から入るのはやめた方が良いでしょう。

直接座標を入れるとp,qの連立2次方程式になります。この2次方程式自体はさほど難しいものではないのですが、解き方がわからないとパニックに陥るでしょう。
qを消去してpの方程式にすれば解けます。(一見2次方程式ですが、実は2次の項が消えてしまい1次方程式になります。)

この場合は、先にpの値を決めた方が良い。
2点(-2,0)(‎3,0)を通るとありますが、よく見るとこの2点は両方ともx軸上の点です。
yの値が等しい2点は軸に対して対称であることは知っているでしょう。
このことから2点座標の用いて軸の式を出すことができます。
-2,3の中間、そうx=1/2です。これが軸の式。このことからp=1/2であることがわかります。

求める式は
y=a(x-1/2)^2+q
であることがわかりますのでこの式に(-2,0)を代入すればqの値が得られます。

まあ、無難にy=2x^2+bx+cに代入した方が間違いはないと思います。

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/15 18:43

できますよ！

y=2x^2 の平行移動だから、a=2 また
x軸との交点が x=ー2,3だから
y=2(x+2)(xー3) ……Ans