∫∫(1/1+x+y)dxdy, D=｛(x,y)|x≧0,y≧0｝ 広義重積分の問題です。 1/1

∫∫(1/1+x+y)dxdy, D=｛(x,y)|x≧0,y≧0｝
広義重積分の問題です。
1/1+x+yを積分していく過程がわかりません。
回答よろしくお願いします。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2019/01/23 13:50

1/(1+x+y)　のＤでの2重積分でしょ？

だったら＋∞に発散します。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/22 22:07

重積分を反復積分に変換して

∫∫[D](1/1+x+y)dxdy = ∫[y≧0]{∫[x≧0](1/1+x+y)dx}dy
です。
内側の積分は
∫[x≧0](1/1+x+y)dx = lim[u→+∞][-1/(1+x+y)^2]_(0〜u)
= lim[u→+∞]{(-1/2)/(1+u+y)^2 - (-1/2)/(1+0+y)^2}
= (1/2)/(1+y)^2.
x で積分するときは y は定数ですからね。
内側は単なる ∫(1/x)dx です。
この結果から
∫[y≧0]{∫[x≧0](1/1+x+y)dx}dy = ∫[y≧0]{(1/2)/(1+y)^2}dy
= (1/2)lim[y→u][(-1/3)/(1+y)^3]_(0〜u)
= (1/2)lim[y→u]{(-1/3)/(1+u)^3 - (-1/3)/(1+0)^3}
= (1/2)(1/3)/1
= 1/6.