放物線z= x^2 + y^2上の点(1,2,5)における単位法線ベクトルを求めよ。

放物線z= x^2 + y^2上の点(1,2,5)における単位法線ベクトルを求めよ。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2019/01/22 21:11

f(x,y,z)=x²+y²-zとおくと、

∂f/∂x=2x、∂f/∂y=2y、∂f/∂z=-1だから、接平面の法線ベクトルは、(2,4,-1)であり、
このベクトルの大きさは√21

よって、単位法線ベクトルは、±1/√(21)(2,4,-1)

注：細かいけど、「単位法線ベクトルを1つ求めよ」なら±は不要だが、「1つ」という指定がないから±が必要。

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2019/01/22 10:22

正しいという自信なしです参考程度に

y=0の平面上では
放物線の式は z=x^2
この放物線の(x,z)=(√5,5)における接線は、z-5=(2√5)(x-√5)
接線に直交する直線は z-5=(-1/2√5)(x-√5)
x=0でz=5+(1/2)=11/2

(x,y,z)=(0,0,11/2) と (x,y,z)=(x,y,5)である放物線上の点を結ぶ線に平行なベクトルが(x,y,5)における法線ベクトルになると考えて

(1,2,5)における法線ベクトルは(1,2,-1/2)、
このベクトルの大きさは√(21/4)なので
求める単位法線ベクトルは ((√21)/21)(2,4,-1)