(2)解説してください！！ 数2の問題です。答えは(x +y+z)(x2＋y2＋z2−xy−yz−z

(2)解説してください！！
数2の問題です。答えは(x +y+z)(x2＋y2＋z2−xy−yz−zx)です。

No.2 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2019/02/04 14:26

条件式 x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y) の両辺に、(z³-3xyz) を足します。

x³+y³+z³=(x+y)³+z³-3xy(x+y)-3xyz=(x+y)³+z³-3xy(x+y+z) 。
右辺には (x+y) と z との3乗の和がありますから、条件式に従って 変形します。
(x+y+z)³=(x+y+z)(x+y+z)² として 二乗の方を展開すると、
(x+y+z) で括れる式になります。
これを +, - に気を付けて 整理すると
(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx) になります。

尚、x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)=(x+y)(x²+y²-xy) となるのですが、
頻出する訳ではありませんが、因数分解では使う事がありますので、
計算の仕方だけは 覚えておいた方が良いかも。

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/04 19:38

皆さんが書かれているように、x→x+y ,y→zに置き換えればよい！

この公式は、非常に重要です！ 別解として 対称式を利用した解き方もありますので参考！

与えられた式は、3次の同次対称式である。
いま、xの代わりに ー(y+z)とおくと
与式=ー(y+z)^3 +y^3+z^3 +3(y+z)yz =0
となる。したがって与えられた式は
xー(ー(y+z))=x+y+zという因数をもつわけである。
ところで、この因数は x,y,z についての1次の同次対称式だから、これ
で与えられた式(3次の同次対称式)を割った商は、x,y,zについての
2次の同次対称式でなけれなならない。
従って
与えられた式=(x+y+z)｛ A(x^2+y^2+z^2)+B(xy+yz+zx)｝
( ただし、A,Bは 未定係数)
において
両辺に y=z=0を代入すると
x^3=Ax^3 となり A=1 …………………………………(1)
また x=y=z=1 を代入すると
0=3(3A+3B )
すなわち ー9B=9A よって ーB =A ………………………………(2)
(1),(2) から B=ー1
従って
与えられた式=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2ーxyーyzーzx )
と因数分解される。

No.1 回答者： chloelmais 回答日時： 2019/02/03 20:41

x^3＋y^3＋z^3－3xyz

=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz
={(x+y)^3+z^3}-3xy(x+y+z)
=(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2}-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-yz-zx-xy)