集合論

集合と写像についての論述（答案の書き方）に関して、画像のような疑問を持ちました。
どなたか教えてください。
１枚目の画像の左端が切れてしまいました。
×○と書かれています。

質問者からの補足コメント

• ２枚目です

  
    補足日時：2019/02/06 11:48

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/06 14:15

一般に a∈S と {a}⊂S は同値ですが、特に {a} を強調する意図がなければ

a∈S と書くほうが普通でしょう。なぜ {a}⊂S と書きたいのかが解らない。

f^-1(b) については、文脈によって、これが f による b の逆像(集合)を表すのか
逆写像 f^-1 の値(元)を表すのかは微妙です。文章のほうを確認しないと、
式だけではなんとも言えません。

No.2 回答者： ワヲン 回答日時： 2019/02/06 21:52

恐らく、「f^-1は逆像（集合）だから×」に誤解がある様に思えます。

f(x)=x^2として、T=[0, 2]（閉区間）とすると、
{1}∈Tで、f(1)=1となる。
ところが、f^-1(1)={-1} or {1} となるため、
f^-1(1)は、必ずしもf^-1(T)に属さないことを表しているのだと思います。
（いわゆる、単射では無いケース。f^-1(b)∈f^-1(T)は、単射だったら成立したかと思います。）

また、流れでTで書きましたが、この内容でTとはそもそも何でしょうか？
（A、Bと図の中でSはありますが、Tに関する記載が一切ない様に思えます。）

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2019/02/06 22:01

(1)の方は、普通は

　　f^-1(b)∈f^-1(T)
でOKとすると思う。というのは、f^-1を「Bの部分集合からAの部分集合への写像であるが、自然に拡張して、Bの要素からAの部分集合への写像とも解釈する」というユルイ見方をすることが多い。そうしたところで、まず紛らわしくないから。でも「f^-1はBの部分集合からAの部分集合への写像であって、それ以外ではない！」とキビシク言う奴が相手だったら、要するに「"f^-1(b)"なんてものは意味をなさない」と言われているんだから、当然
　　f^-1(b)⊂f^-1(T)
もアウトである。でも
　　f^-1({b})⊂f^-1(T)
なら文句ないだろ。
　さて、そういう奴は、「”f(S)”は意味不明だ」と文句をつけるだろう。なぜなら、「fはBの要素からAの部分集合への写像」だから。（もしこれに文句つけずに(1)の方だけ文句を言うようなら、自己矛盾してることになる。）なので、(2)にお書きの式は両方ともアウト。どうすればいいかとうと、えーと、
　　f(a)∈{f(x)| x∈S}
とでも書くかな。