微分について

次の微分方程式を全微分型であることを確かめて解いて頂きたいです。
(t^2+t√(t^2+x^2))dt+(x^2+x√(t^2+x^2))dx=0
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/13 15:30

「全微分型」って呼びました？

2変数関数の全微分は
df(t,x) = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂x)dx です。
与式の左辺がこの形かどうかは、
(∂f/∂t) = t^2 + t√(t^2+x^2),
(∂f/∂x) = x^2 + x√(t^2+x^2)　…[1]
となる f があるかどうかを見ればいい。

確かめるだけなら
(∂/∂x)(t^2 + t√(t^2+x^2)) = (∂/∂t)(x^2 + x√(t^2+x^2))
を計算するのが簡単ですが、どうせ微分方程式を解くので、
ここはむしろ積分を計算してしまいましょう。
f = ∫{t^2 + t√(t^2+x^2)}dt
= (1/3)t^3 + (1/3)(t^2+x^2)^(3/2) + g1(x),　(∂/∂t)g1(x) = 0,
f = ∫{x^2 + x√(t^2+x^2)}dx
= (1/3)x^3 + (1/3)(t^2+x^2)^(3/2) + g2(t),　(∂/∂x)g2(t) = 0.
右辺を比較すると、
g1(x) = (1/3)x^3 + C,
g2(y) = (1/3)t^3 + C. (Cは定数)
とすれば両式が一致することがわかります。よって、
f = {t^3 + x^3 + (t^2 + x^2)^(3/2)}/3 が[1]を満たします。

与式は、この f を使って df = 0.
積分すれば {t^3 + x^3 + (t^2 + x^2)^(3/2)}/3 = 0.
式を整理して、
(t^3 + x^3)^2 = (t^2 + x^2)^3,　t^3 + x^3 ≦0.
tx = 1,　t ≦ -x.
結局、x = 1/t,　(t < 0) であることが判ります。

この回答へのお礼

2つも答えていただいてありがとうございます。大変助かりました！

お礼日時：2019/02/13 17:16

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/13 16:58

あ、C を忘れてた。

{t^3 + x^3 + (t^2 + x^2)^(3/2)}/3 + C = 0
ですね。

これだと、あまり整理のしようがないかな。
C = -D/3 で定数の名前を変えて
t^3 + x^3 + (t^2 + x^2)^(3/2) = D.