No.5
- 回答日時:
問題を教えることはできない。
問題が問題だということは教えることができる。中学生以上の思考力の持ち主と仮定して説明します。
ここで用いているm,nは整数ですか自然数ですか。 例えば
m=√(2)+√(3)
n=√(2)ー√(3)
とするとm^2+n^2=10となりますが、m+n=2√(2) となります。これを偶数とは言いません。
だから m,nも整数と仮定しましょう。
証明するための基礎力を、確認しましょう。
・整数nにおいて、n^2が偶数であるとしましょう。さて 判断してください。?
"nは奇数ですか偶数ですか。"
整数は偶数か奇数かのいずれかです。nが偶数でないなら奇数ですし、
nが奇数でないならnは偶数です。
n^2が偶数だというの縛りのもとで nが奇数だと仮定しましょう2で割ると1余ってしまいますから
nはn=2k+1(kは整数)とおけます。
n^2に代入します。n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1
この右辺に注目すると2×(整数)+1となっています。つまりn^2を2で割ると1余りますから、n^2は奇数となり前提条件のn^2が偶数だという縛りに矛盾します。この原因はnを奇数だと仮定したからです。
nが奇数でないからnは偶数だと確信するわけです。この論法を背理法といいます。
まとめると整数nにおいて、n^2が偶数ならばnは偶数です。
(整数nにおいて、n^2が奇数ならばnは奇数であることの確認はあなたの腕に任せます。)
・整数+整数、 整数×整数、 整数-整数 すべてこれらの演算結果が整数になることは大丈夫でしょうね
本題に移りましょう
m^2+n^2=(m+n)^2+2nmと変形して右辺を眺めます。左辺は仮定から偶数です。
右辺の2mnを左辺に移項します。
m^2+n^2ー2mn=(m+n)^2
この左辺は偶数から偶数を引いていますから、演算結果も偶数です。だから右辺も偶数である。このことが確信できますか。
次のステップ
右辺においてm+n=A とします。Aは整数になります。m^2+n^2ー2mn=A^2
です左辺が偶数ですからA^2が偶数です。だから上の基礎知識よりAは偶数です。
すなわちm+nが偶数だと証明できます。
No.4
- 回答日時:
この問題の前に、「ある数の二乗が偶数なら、もとの数は偶数」というのを証明していれば、
m^2 + n^2 が偶数だから、
m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn
より、(m + n)^2 は偶数。
だから、m + n は偶数。 でOK。
No.3
- 回答日時:
m=1、n=√3の時、成立しないので、
m,nは整数という前提で考えます。
整数なので、偶数・奇数の組み合わせを考えます。
すなわち、以下の4パターンを考えます。
①m=偶数、n=偶数 ⇒ m^2+n^2=偶数+偶数=偶数、m+n=偶数
②m=偶数、n=奇数 ⇒ m^2+n^2=偶数+奇数=奇数、m+n=奇数
③m=奇数、n=偶数 ⇒ m^2+n^2=奇数+偶数=奇数、m+n=奇数
④m=奇数、n=奇数 ⇒ m^2+n^2=奇数+奇数=偶数、m+n=偶数
従って、m^2+n^2=偶数となるパターンは①、④の時であり、
このとき、m+n=偶数となる。
従って、題意は示された。
No.1
- 回答日時:
対偶で考えましょうか。
「AならばB」が成り立つときの対偶は、
「Bではないとき、Aではない」ですから、
「m+nが偶数ではないとき、m^2+n^2は偶数ではない」
が示せればよいことになります。
つまり、「m+nが奇数のとき、m^2+n^2は奇数である」…命題(1)
を証明すればよいことになります。
では、計算してみましょう。
(m+n)^2 = m^2 +2mn + n^2…①
また、m+nは奇数のとき、2k+1(kは整数)とおけるから、
(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1…②
てある。ここで、4k^2と4kはどちらも偶数なので、
4k^2 + 4k + 1は奇数。よって、(2k+1)^2は奇数となる。
①=②なので、m^2 +2mn + n^2は奇数となる。よって、m^2 + n^2は奇数となる。
よって、命題(1)は成り立つ。
これより、命題(1)の待遇「m^2 + n^2が偶数のとき、m+nは偶数である」が成り立つ。(証明終わり)
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