Ａ∩（Ｂ－Ｃ）＝（Ａ∩Ｂ）ー（Ａ∩Ｃ）の証明法

お世話になります。
よろしくお願いします。

集合について勉強中なのですが、

Ａ∩（Ｂ－Ｃ）＝（Ａ∩Ｂ）ー（Ａ∩Ｃ）

の証明できずに困っています。
ベン図を使わずに左辺から右辺を証明する方法を教えてください。
ｘ∈｛Ａ∩（Ｂ－Ｃ）｝と置く証明法です。
ちなみに右辺から左辺は何となくできました。

後もう一点あるのですが、
Ａ∩（Ｂ－Ｃ）と（Ａ∩Ｂ）ーＣは同じでしょうか？

分かる方、よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： tarame 回答日時： 2007/11/07 12:20

ｘ∈｛Ａ∩(Ｂ－Ｃ)｝とおくと

ｘ∈Ａ　かつ　ｘ∈Ｂ－Ｃ
ｘ∈Ａ　かつ　ｘ∈Ｂ　かつ　ｘ∈Ｃ~
ｘ∈Ａかつｘ∈Ｂより　ｘ∈Ａ∩Ｂ
Ｃ~⊆(Ａ∩Ｃ)~，ｘ∈Ｃ~より　ｘ∈(Ａ∩Ｃ)~
∴　ｘ∈(Ａ∩Ｂ)－(Ａ∩Ｃ)
ゆえに　Ａ∩(Ｂ－Ｃ)⊆(Ａ∩Ｂ)－(Ａ∩Ｃ)…(ア)

ｘ∈｛(Ａ∩Ｂ)－(Ａ∩Ｃ)｝とおくと
ｘ∈(Ａ∩Ｂ)　かつ　ｘ∈(Ａ∩Ｃ)~
ｘ∈Ａ　かつ　ｘ∈Ｂ　かつ　ｘ∈(Ａ∩Ｃ)~
ｘ∈Ａかつｘ∈(Ａ∩Ｃ)~より　ｘ∈Ａ∩Ｃ~
ｘ∈Ａ　かつ　ｘ∈Ｃ~　かつ　ｘ∈Ｂ
∴ｘ∈Ａ∩(Ｂ－Ｃ)
ゆえに　(Ａ∩Ｂ)－(Ａ∩Ｃ)⊆Ａ∩(Ｂ－Ｃ)…(イ)

(ア)(イ)より　Ａ∩(Ｂ－Ｃ)＝(Ａ∩Ｂ)－(Ａ∩Ｃ)

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。

>Ｃ~⊆(Ａ∩Ｃ)~，ｘ∈Ｃ~より　ｘ∈(Ａ∩Ｃ)~

そうです、そうです！
分からなかったのはこの１行です。

なんか分かりそうです。
どうもありがとうございます。

お礼日時：2007/11/08 18:56

No.6 回答者： kesexyoki 回答日時： 2007/11/09 02:18

No.1です。

「＝」で繋がれているので、右辺⇒左辺が示されれば、それでO.K.ですよね？

φ＝｛（A∩B）∩（Aの補集合）｝
←この部分を、逆に思いつくのは難しいですが、逆に「辿れば」いいのです。
超簡単な例で言えば、「３＋５＝８」は、左辺から右辺を導いており、右辺から左辺は一概には導けませんが、成り立ってますよね。左辺⇒右辺の流れだけでも、「＝」で繋がれているので自然に右辺⇒左辺も示せることになります。

わかっていただけましたでしょうか？

質問者さんの質問のように、「ｘ∈・・・」の方法でやればよかったですね。なんか何度もすみません。

この回答へのお礼

どうも何度もご回答ありがとうございます。
とても勉強になります。

実は私の方でもここでの皆さんの回答を参考にしつつ、いろんな人に聞いたり、調べたりしておりました。
それで少し分かったことがありますので、ご報告します。

問題の式、「Ａ∩（Ｂ－Ｃ）＝（Ａ∩Ｂ）ー（Ａ∩Ｃ）」は
左辺がAが１つで右辺がAが２つであり、
集合の数を減らす変形（右辺→左辺）は割と自然にできますが、逆に集合の数を自然な形で増やす方法（左辺→右辺）はなかなか思い付かないということでした。

確かにこの問題の場合は右辺→左辺を証明して逆も正しい、とすれば
解答としてはOKだと思うのですが、もう少し複雑な証明問題になると
「Ａ∩（Ｂ－Ｃ）→（Ａ∩Ｂ）ー（Ａ∩Ｃ）」の変形を途中式として普通に使うことがあるだろうと思いましたので、何とか自然に左辺→右辺
を導ける方法がないかと思い、ここでご相談させて頂きました。

そこで分かりましたのは以下の２通りの方法です。

(1)A＝A∪φ＝A∪(B∩￢B）
(2)A＝A∩X＝A∩(B∪￢B)　（X：全体集合）

この方法を使うと任意の集合を増やすことができます。
どちらを使うかは問題によって自分で判断します。

題意の問題では(1)を使います。
Ａ∩（Ｂ－Ｃ）＝A∩B∩￢C＝A∩B∩（￢C∪(A∩￢A)）
＝A∩B∩（￢C∪A）∩（￢C∪￢A）
（ここでA∩（￢C∪A）＝A）
＝A∩B∩（￢C∪￢A）

今度は(2)を使う例です。
A→（AーB）∪（A∩B）を導きます。
A＝A∩（B∪￢B）＝（A－B）∪（A∩B）

もっと良い方法もあるかもしれませんが、現時点分かりました方法を
ご報告しました。
もっと良い方法をご存知でしたら是非御投稿ください。

お礼日時：2007/11/09 16:34

No.4 回答者： hugen 回答日時： 2007/11/07 00:54

ｘ∈Ａ∩（Ｂ－Ｃ）

　⇒　ｘ∈Ａ , ｘ∈Ｂ－Ｃ
　⇒　ｘ∈Ａ , (ｘ∈Ｂ , ｘ∈/Ｃ)
　⇒　(ｘ∈Ａ , ｘ∈Ｂ ), ｘ∈/Ｃ
　⇒　ｘ∈Ａ∩Ｂ , ｘ∈/Ａ∩Ｃ
　⇒　ｘ∈Ａ∩Ｂ－Ａ∩Ｃ

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。

　(ｘ∈Ａ , ｘ∈Ｂ ), ｘ∈/Ｃ
　⇒　ｘ∈Ａ∩Ｂ , ｘ∈/Ａ∩Ｃ

ここの変形が分からないのですが・・・。

お礼日時：2007/11/08 18:54

No.3 回答者： kesexyoki 回答日時： 2007/11/06 20:47

No.1です。

No.2の方も仰られているように、私の回答は全て「＝」で繋がれておりますので。逆も成り立っているのではないか、と。
もちろん、他のやり方（x∈・・・とおいて⊆と⊇が成り立つので＝が成り立つことを示す）もあると思いますが。

この回答へのお礼

再びのご回答どうもありがとうございます。

Tacosanさんのお礼にも書いたのですが、

φ＝｛（A∩B）∩（Aの補集合）｝

を思い付くのはちょっと難しいと思うのですが・・・。

お礼日時：2007/11/08 18:33

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/11/06 20:14

その「なんとなくできてる『右→左』」を逆向きにしたら「左→右」になったりして.

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。

>その「なんとなくできてる『右→左』」を逆向きにしたら「左→右」になったりして.

そうですね。

と思ってやってみたのですが・・・。

φ＝｛（A∩B）∩（Aの補集合）｝

を思い付くのはちょっと難しいと思うのですが・・・。

お礼日時：2007/11/08 18:31

No.1 回答者： kesexyoki 回答日時： 2007/11/06 03:32

（A∩B）－（A∩C）＝（A∩B）∩｛（A∩C）の補集合｝となるのはご存知で？

ならばド・モルガンの法則より｛（A∩C）の補集合｝＝（Aの補集合）∪（Cの補集合）
よって（A∩B）－（A∩C）＝（A∩B）∩｛（Aの補集合）∪（Cの補集合）｝
＝｛（A∩B）∩（Aの補集合）｝∪｛（A∩B）∩（Cの補集合）｝
＝φ∪｛A∩B∩（Cの補集合）｝
＝A∩｛B∩（Cの補集合）｝
＝A∩（B-C）
です。

差集合を補集合の関係を使えば2点目の疑問は解決できると思うので、自分でやられた方が力になるのではと思います。

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます。

質問文の８行目に書きました通り、右辺から左辺は何となく導けたのです。（何となくと書きましたのは証明問題で解答がないので。）

できれば左辺から右辺の導き方を教えて頂きたいのです。

２点目の疑問の方ですが、私の考え方だと
Ａ∩（Ｂ－Ｃ）と（Ａ∩Ｂ）ーＣは同じになってしまうのですが、
それだとなぜわざわざ括弧を付けているのかが分かりません。

ちなみにどちらの問題も
有名な「集合・位相入門」（松坂和夫著　岩波書店）p21からです。

引き続きよろしくお願いします。

お礼日時：2007/11/06 03:46