高校の数学です。
積分を使った体積の求め方が、わかんなくなってしまいました。
この問題の答えも見つかりませんし、ノートもどっかにいっちゃったみたいだし、教科書を読んでもいまいちわからないので、助けてください。

問題
2つの曲線  
C1:y= x^2 - 4x + 3   C2:y=-x^2 + 2x - 1
とで囲まれた部分を、x軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。

C1とx軸で囲まれた部分を、x軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ、という問題はできましたが、2つの曲線で囲まれちゃうと、どうやったらいいのかわかんなくなっちゃいます。

あと、インテグラル3から1といった言葉は、パソコンではどうやって書けばいいのでしょうか?

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A 回答 (1件)

外側の曲線の積分した体積から内側の曲線の積分した体積を引けばいいですね。


ただC1とC2は(x=1)と(x=2)で交わりますからXの範囲を3つに分けて考える必要があるでしょう。(C1とC2のどちらが外側かを調べる)

2つめの質問は「3から1の範囲で積分する」でいいのではないでしょうか。
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この回答へのお礼

とってもよくわかりました。
どうもありがとうございました。
数学は、夏休みの宿題がとっても多くて大変です。

お礼日時:2001/07/27 13:16

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という問題で、添付画像のように計算していったのですが、
途中の答えが解答とあいません
(汚くてすみません・・(--;

添付画像の最後の行の、 a^3/6(1-p)^3 が、解答では、a^3/6(1-p)^2 となっていて、
いつの間にか (1-p) が一つ減っています。
(問題の答えまではもうちょっと続きますが・・・)

解答の計算方法とは違う方法でやったので、自分がどこでミスっているのかがわからないのです。
何回も何回も計算しましたが、やっぱりわからないのです。

ちなみに普通の積分と同じようなやりかたでもやってみましたが、今度は-5a^3/6(1-p)^2となってしまいました。
多分マイナス計算でぐっちゃぐちゃになってるのだと思います・・・。

何回も考えて もう頭がこんがらがって意味がわかりません。
すみませんが教えてください

Aベストアンサー

こんばんわ。

下の部分の積分計算において、3行目から 4行目の変形でくくり出したはずの(1-p)が消えていますね。
これが、計算違いの原因だと思います。

もし余裕があれば、
∫[α→β] (x-α)(x-β)dx = -1/6* (β-α)^3

という準公式を一度使ってみてください。
2つの積分とも、これですっと計算できてしまいます。
その場合も、くくり出したところは忘れないように。

あと、この問題の答えは aに関係しないところがある種面白い問題ですね。
aがいくら大きくなっても、二等分する pの値は一定のまま・・・
一見変な感じですが、グラフをよく見てるとわかると思います。

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その方針でよいと思います。結局、
|∫[(k-1)π,kπ]xsin xdx|
の和(k=1~n]になると思います。

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初めにグラフをイメージする。
y = x² は頂点が(0,0)の下向きの放物線
x² + (y - 5/4)² = 1 は中心が(0,5/4)の半径1の円

y=x² の範囲から、y≧0 なので、範囲は指定(考慮)しなくてよい)

よって単純に
y = x²
x² + (y - 5/4)² = 1
の連立方程式を解けばよい。

y + (y - 5/4)² = 1
y + y² - 5y/2 + 25/16 = 1
y² - 3y/2 + 9/16 = 0
16y² - 24y + 9 = 0
(-4y + 3)² = 0
y = 3/4  重解

y = x²
(3/4) = x²
x= ±√{3/4}
 = ±√3 / √4
 = ±√3/2


検算してみる。
y = x²
 (3/4) = (√3/2)²
x² + (y - 5/4)² = 1
 3/4 + (1/4) = 1

共有点の座標は
(-√3/2 , 3/4)(√3/2 , 3/4)

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回答では、Bはy軸の交点にあることから、x=0であるので、接点の方程式に代入すると、
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となり、線分ABは二等分されるのでA,Bのy座標の絶対値は等しい、とありました。
しかし、その後の式で、
y−xy'=−y
とありましたが、上記右辺の−yはBのx=0をy−xy'へ代入したものであると考えているのですが、
なぜ接線の方程式にBのx=0を代入し、y座標y−xy'を求めた後、その後再びy−xy'へx=0を代入しているのでしょうか?

説明が長くて申し訳ないです。
みなさんにお力を貸していただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

あー、主さんは曲線上Aの座標(x、y)とAのところの接線の上の座標を混同していますね。
Aのところの接線の方程式はx、yとはちがうX、Yをつかわなくてはならない。
これを使うと、接線の方程式は、A(x、y)を通り、傾きy'の直線だから、
Y―y=y'(X―x)、これからBのy座標は左の式にX=0を入れて
Y=y―xy'・・・① と出てくる。
そして、このy切片Yは条件からAのy座標yと真反対だからY=―y、これを①に入れて
―y=y―xy'・・・②

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