稠密の定義

位相空間論で、
MはSにおいて稠密⇔
位相空間(S,O)についてその部分集合Mが「Mの閉包＝S」を満たす⇔

Sの任意の点においてその点から任意のε近傍をとってもその中にはMの元が必ず含まれる
です。（★）
しかし、小平邦彦の解析入門でQは稠密である。
任意の有理数a,bが与えられたとき、a<bならばa<r<bなる有理数ｒが無数に存在する。との記述がありました。（※）
普通Qの稠密性といった場合、Rにおいて任意の実数a,b（a<b）をとれば、a<r<bを満たす有理数が無数に存在する。という意味でつかわれ、上の★の定義とも同値である。といえると思いますが、（※）は★とはどのように対応しているのですか？

質問者からの補足コメント

• 

  B（a,r)(aは有理数、ｒは正の有理数）というaのｒ近傍には有理数が無数に入ってくる
  ⇔Q＝Qの閉包ということですか？
  初歩的な質問で申し訳ないのですが、Qの閉包がQに一致することとQの閉包がRに一致することの違いはどこから来るのですか？

    補足日時：2019/03/13 23:58

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2019/03/14 10:37

MはSにおいて稠密

を考える上で大切なのは、
MはSの真部分集合であって、
（出来れば、可算無限個の基底による一次結合、というような特別な性質をMが持っている）
こそ意味があると思っています。

Sの任意の点においてその点から任意のε近傍をとってもその中にはMの元が必ず含まれる
です。（★）

普通Qの稠密性といった場合、Rにおいて任意の実数a,b（a<b）をとれば、a<r<bを満たす有理数が無数に存在する。（☆）
という意味でつかわれ、上の★の定義とも同値である。といえると思いますが

とのことですが、（★）ではSが一般的な位相空間であり、（☆）ではR（実数の空間）を扱っているので、同値にはならないと思います。

そこで
普通Qの稠密性といった場合、Rにおいて任意の実数a,b（a<b）をとれば、a<r<bを満たす有理数が無数に存在する。（☆）
と
任意の有理数a,bが与えられたとき、a<bならばa<r<bなる有理数ｒが無数に存在する。との記述がありました。（※）
について考えます。

（☆）⇒（※）
有理数a,bが与えられたとき、a<bとする。（☆）が成立するならば、
有理数a,bはもちろん実数なので、a<r<bを満たす有理数が無数に存在する。
となり、（※）が成立する。

（※）⇒（☆）
Rにおいて任意の実数a,b（a<b）をとれば、b-a＝ε＞０となり、
アルキメデスの原理より、どんなに大きな数Mに対しても、自然数Nが存在して、ｎ＞Nならば　ｎ*ε＞3M　となる。
このとき、ε＞3M/ｎが成立。
特に、Mを１としたときのｎを固定する。ε＞3/ｎ
有利数列｛k/n}を考えると、(h-1)/ｎ＜＝　a　<=h/n <(h+1)/n<(h+2)/n<=　b　となる　ｈ　がある。
このとき、(h+1)/n　と　(h+2)/n　は有理数なので、(h+1)/n<ｒ＜(h+2)/n　となる有理数は（※）より、無数に存在する。
よって、a<r<bを満たす有理数が無数に存在する。



ここでは、Rをアルキメデス型の完備順序体として扱いました。
もちろん、有理数よりなるコーシー列を類別して実数と構成する方法だと別の形で証明することになるでしょうが、
それば、能代清　氏　の”極限論と集合論”を見てください。
https://www.amazon.co.jp/%E6%A5%B5%E9%99%90%E8%A …

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/13 23:33

QはQにおいて稠密。