置換積分法と部分積分法を用いて、次の不定積分を求めよ。 という問題なのですが、わからないので教えて欲

置換積分法と部分積分法を用いて、次の不定積分を求めよ。
という問題なのですが、わからないので教えて欲しいです。
解答の過程もお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/03/30 15:08

置換積分法と部分積分法 を両方使うということなら

logx=tとおく
⇔e^t=x(e^2t=x²)
e^tdt=dx
(2)=∫(te^t)/(e^2t)dt
=∫te^-tdt　・・・(ここまで置換、このあと部分積分)
=-∫t(e^-t)'dt
=-t(e^-t)'+∫(t)'(e^-t)'dt
=-t(e^-t)'+∫(e^-t)'dt
=-t(e^-t)'-(e^-t)+c
=(-logx/x)-(1/x)+c　・・・(e^t=x⇔1/x=1/e^t=e^-t)

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/03/30 20:47

https://mathtrain.jp/logintegral
部分積分だけで、できるだろうが、
∫ x^-2・logx dxで部分積分したら、∫logxdxがでてくるから、ここで、置換積分すればいい！

No.2 回答者： springside 回答日時： 2019/03/30 14:03

この一連の問題の出題者は、どうも変なセンス、かつ、上から目線の人だな。

どんな方法で積分するかは、解答者の勝手なのに。ほっといてほしい。

まぁ、本人は、「高校生は数学初心者で、自力では解法を見付けられないから
教えてやろう」という親切心で解法を指示しているのだろうが。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/30 13:41

前回の質問

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11051592.html で、
∫(1/x)(log x)dx = (1/2)(log x)^2 + (積分定数) は判ったのですね。

今回は、すなおに部分積分して、
∫(1/x^2)(log x)dx = (-1/x)(log x) - ∫(-1/x)(1/x)dx
= -(1/x)(log x) + ∫(1/x^2)dx
= -(1/x)(log x) + (-1/x) + (積分定数)
= -(1/x)((log x) + 1) + (積分定数).

前回は、置換積分で簡単に済むものを部分積分で技巧的に解かせたり、
今回は、単純な部分積分に「置換積分法と部分積分法」と指定したり、
なんだかおかしな質問ですねえ。