高校1年 数学A 3つの集合の和集合の要素の個数の問題です。 図の例題の解答では、 一番最後にn(A

高校1年 数学A
3つの集合の和集合の要素の個数の問題です。
図の例題の解答では、
一番最後にn(A∩B∩C)…(=2)を足していますがなぜ足す必要があるのか、図を書いてみたりネットで検索してみてもいまいち納得できません。
２つの円が重なる部分を引くのは理解できるのですが…

納得できないままにしておくわけにもいかないので、解説お願いします…(>_<)(>_<)

No.2 ベストアンサー 回答者： さ_ラま 回答日時： 2019/05/03 07:55

0. これ、なんかもやもやしますよね。

①
A: 2の倍数={･･6･･42･･}50個
B: 3の倍数={･･6･･42･･}33個
C: 7の倍数={･･･42･･･}14個

②
･ 2と3の公倍数つまり6の倍数 A⋂B={6･･42･･} 16個
･ 3と7の公倍数つまり21の倍数 B⋂C={･42･･} 4個
･ 7と2の公倍数つまり14の倍数 C⋂A={･･42･･} 7個

→
①
{･･6･･42･･} n(A)=50
{･･6･･42･･} n(B)=33
{･･42･･} n(C)=14
②
{6･･42･･} n(A⋂B)=16
{･･42･} n(B⋂C)=4
{･･42･･} n(C⋂A)=7

1.
①の総数から ②の総数を引いたあとに
なぜn(A⋂B⋂C)=2を足さないとだめなのかを考える

→ 例えば, 6と42に着目して

①に2個ある6 (2の倍数と3の倍数だから, だぶっている。7の倍数ではない) は,
②に1個あるので
( 6は｢2と3｣の公倍数だけど,｢ 3と7｣, ｢7と2｣の公倍数ではないから 1個になる)
① から②を引くと
だぶってるものを1個にできる

けど
①に3個ある42 (2の倍数と3の倍数と7の倍数だから, とりぷるってる)は,
②にも3個あるので(42は｢2と3｣,｢3と7｣,｢7と2｣の公倍数だから3個になる)
① から②を引くと
42は0個になってしまう

だから
0個となった
2と3と7の公倍数つまり42の倍数
A⋂B⋂C={42, 84}より
n( A⋂B⋂C) =2 を足す

■ ラスト
ここまでを踏まえて
ベン図のイメージから
3個ある42が三回
引かれること
－ n(A∩B)
－ n(B∩C)
－ n(C∩A)　
を考える

0 :
集合Aの円にも {･･42･･}
集合Bの円にも {･･42･･}
集合Cの円にも {･･42･･}
42は要素として含まれている
1:
･ AとBの円に着目 (Cの円は点線にでもして)
→ Aの円にBの円を重ねて共通部分をつくるとき、
Aに42と書かれた真上にBの42を置くから、42は2個
ここから、
－ n(A∩B)をすると、
2個 (42, 42)から(2と3の公倍数42 )を引くことになる[一回目]ので、
例えば、｢Aの42が消え｣Bの42が残ることにします

･ BとCの円に着目(Aの円は点線にでもして)
→ Bの円にCの円を重ねて共通部分をつくるとき、
一回目引いて残ったBの42の真上にCの42を置くから、
42は2個
ここから、
－ n(B∩C)をすると
2個(42, 42)から( 3と7の公倍数42)を引くことになる[二回目]ので、
例えば、｢Bの42が消え｣Cの42が残ることにします

･ CとAの円に着目(Bの円は点線にでもして)
→ Cの円にAの円を重ねて共通部分をつくるとき、
あれ？Aの42は一回目で｢消えて｣いる、けど
－ n(C∩A)をするので(三回目)、残ったCの42を(7と2の公倍数42)で引くと｢Cの42も消える｣

3つの集合から要素42が消えてしまった
だから
AとBとCの和集合の個数を求めるとき
どうやら
+ n(A∩B∩C)をする

■ 理解するために、いろいろと調べてらっしゃるようなので、みなさんの回答とともに、一助となれればいいのですが、、
(｢こやつら｣と擬人化、おもろいっすね)

この回答へのお礼

なるほど！
①②で考えると中々分かりやすくなりますね！
やっと分かってきました。ありがとうございます！
擬人化と言われて一瞬疑問符が浮かんでしまいました、確かに擬人化してましたね。無意識に擬人化してました笑

お礼日時：2019/05/06 21:24

No.3 回答者： さ_ラま 回答日時： 2019/05/04 11:42

補足。

･ ①, ②の個数の求め方

①
1から100までの自然数に

A : 2の倍数(2で割り切れる数)
B : 3の倍数(3で割り切れる数)
C : 7の倍数(7で割り切れる数)
は何個あるか。

･ 2の倍数 (2で割り切れる数)
100÷2=50, なので
2×50=100
2の50倍は100, だから
→ ｢2, 2の2倍,･･･2の49倍, 2の50倍｣: 50個

→ A={ 2,4 ,6,･･42,･･98,100}
n(A)=50

･ 3の倍数 (3で割り切れる数)
100÷3=33あまり1, なので
3×33 + 1=100
3の33倍プラス1は100,
34倍すると102になる, だから　
→ ｢3, 3の2倍,･･･3の32倍, 3の33倍｣ : 33個

→ B={ 3,6,･･42,･･96,99}
n(B)=33

･ 7の倍数 (7で割り切れる数)
100÷7=14あまり2, なので
7×14 + 2=100
7の14倍プラス2は100,
15倍すると105になる, だから
→ ｢7, 7の2倍,･･･,7の13倍, 7の14倍｣ : 14個

→ C={7,14,･･42,･･91,98}
n(C)=14

②
･ A∩B
2で割り切れ, かつ, 3で割り切れる数
→ 2の倍数, かつ, 3の倍数
→ 2と3の公倍数つまり6の倍数

→ A∩B={ 6,･･42,･･96}

･ B∩C
3で割り切れ, かつ, 7で割り切れる数
→ 3の倍数, かつ, 7の倍数
→ 3と7の公倍数つまり21の倍数

→ B∩C={ 21,42, 63, 84}

･ C∩A
7で割り切れ, かつ, 2で割り切れる数
→ 7の倍数, かつ, 2の倍数
→ 7と2の公倍数つまり14の
倍数

→ C∩A={14,･42･･98}

は何個あるか。

･ 100÷6=16あまり4
6×16 + 4=100
→ n(A∩B)=16

･ 100÷21=4あまり16
21×4 + 16=100
→ n(B∩C)=4

･ 100÷14=7あまり2
14×7 + 2=100
→ n(C∩A)=7

③
･ A∩B∩C
2で割り切れる数, かつ,
3で割り切れる数, かつ,
7で割り切れる数
→
2の倍数, かつ, 3の倍数, かつ,
7の倍数
→
2と3と7の公倍数つまり
42の倍数
→
A∩B∩C={42,84}
･ n(A∩B∩C)=2

この回答へのお礼

細かいところまで丁寧にありがとうございます！！

お礼日時：2019/05/06 21:24

No.1 回答者： kurokurosun 回答日時： 2019/05/01 18:50

絵（ベン図）を描いてみると判ると思いますよ。

まずは簡単に考えてみます。
2の倍数、3の倍数　は、それぞれ個数が判ると思います。
これらの数を足すと、重複してカウントしている部分があります。
それは6の倍数です。
なので、2の倍数と3の倍数とを足し、重複している6の倍数を引きます。

では、この問題で考えた場合、
2の倍数、3の倍数
3の倍数、7の倍数
7の倍数、2の倍数　をそれぞれ引くと、
2の倍数と3の倍数と7の倍数の部分、ベン図で描くと真ん中の部分が、3回ひかれていることになります。
なので、それは引きすぎなので、足します。

絵（ベン図）を描いてみましょう。
できれば、色分けすると判りやすいかも。。。。

この回答へのお礼

とりあえず2の倍数と3の倍数とを足して重複している6の倍数を引く図を書いてみたんですが、この図を見ると、6の倍数は含まれないことになるように見えてしまったんですが....
なんか混乱してきました、回答していただいたのにすみません....
回答ありがとうございます。

お礼日時：2019/05/02 22:55