集合 {x, {x,y}} と {{x},[x,y}} の違いについて

集合　{x, {x,y}} と {{x},[x,y}} の違いについて
前者ではxは要素、{x,y}は集合になりまずい気がするのですが、定義から追っていった時どう説明するのか？確実にどうまずいのかの理解が不確かです。
詳しい説明よろしく願います。

質問者からの補足コメント

• 例えばx：実数値とした場合、{x, {x,y}} と{{x}, {x,y}} が結果的に同じになってしまい不味いと考えたのですが！！

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/05/06 09:48

No.2 ベストアンサー 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/05/06 10:01

＞例えばx：実数値とした場合、{x, {x,y}} と{{x}, {x,y}} が結果的に同じになってしまい不味いと考えたのですが！！

なぜ「結果的に同じ」？
{x}は後者の１要素ですけど、前者の１要素にはならないと思いますが・・

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/06 22:28

＞例えばx：実数値とした場合、{x, {x,y}} と{{x}, {x,y}} が結果的に同じになってしまい

x ∈ {x, {x,y}},
x ∉ {{x}, {x,y}} だから、同じじゃありませんよ。
{{x}, {x,y}} の元は {x} と {x,y} だけで、x は違います。

No.4 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/05/06 17:10

No2です

＞{x,y}は集合になりまずい気がする
要素が「集合」となる集合があるのはご存知？

対象が「その集まりの元であるかどうかが不確定要素なしに一意に決定できる」性質を持てば、対象がなんであっても、「集合」になります。

No.3 回答者： kmee 回答日時： 2019/05/06 11:01

単に集合と言った場合は、要素が何であるかは関係ありません。

「集合」も集合の要素になります。
ですから、 {x, {x,y} } も { {x}, {x,y} } も 集合として問題ありません。


x が「ある特定の整数値」なら、 {x} は「ある特定の整数値xのみを要素に持つ集合」であり、二つは明確に別なものです。
x が「ある特定の実数値」なら、 {x} は「ある特定の実数値xのみを要素に持つ集合」であり、二つは明確に別なものです。
x が「ある特定の集合」なら、 {x} は「ある特定の集合xのみを要素に持つ集合」であり、二つは明確に別なものです。
x と「xのみを要素に持つ集合」とは、二つは明確に別なものです。
よって、 {x, {x,y} } と { {x}, {x,y} } も明確に別なものです。


あとは、この集合を使って何をしたいか、によります。
x,y:実数
　のとき
集合A: 「いくつかの実数を要素とする集合」を要素とする集合
　について論じたいのなら、 {x,{x,y}}には 「いくつかの実数を要素とする集合」ではない要素が含まれるので不適です。

集合B: いくつかの実数を要素とする集合
　について論じたいのなら、どちらも不適です。

集合C: 1つ以上の実数と、1つ以上の「いくつかの実数を要素とする集合」を要素とする集合
　について論じたいのなら、「1つ以上の実数」を要素に持たない {{x},{x,y}}は不適です。

この回答へのお礼

順序対との関係と結びつけて考えていた時、あれぇと思って、質問しました。大変良く判りました。
有難う御座いました。

お礼日時：2019/05/07 08:09

No.1 回答者： springside 回答日時： 2019/05/06 09:21

なぜまずいの？

前者は、「x、及び、集合{x,y}を要素として持つ集合」というだけのことでしょ。