http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH

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の定理1.5.1の証明について質問です。

0→R^(m-1)∩N→N → pr_m(N)→0

について、これが短完全系列になるのはなぜですか？

また、右端が自由 R 加群なので分裂すると言えるのはなぜですか？

この2点、解説よろしくお願いします。

No.1 回答者： cage64 回答日時： 2019/05/17 08:52

>0→R^(m-1)∩N→N → pr_m(N)→0

>これが短完全系列になるのはなぜですか？

0→R^(m-1)→M → R→0 が短完全系列となることからの帰結です。
N⊂Mより明らかですが、ちゃんと証明するなら定義にしたがって確かめるだけです。
0→R^(m-1)∩N→N
R^(m-1)∩N→N → pr_m(N)
N → pr_m(N)→0
のうち、どこが完全であることの証明がわかりませんか？

>また、右端が自由 R 加群なので分裂すると言えるのはなぜですか？
これもどこがわかりませんか？分裂、完全系列、あたり検索すれば、定理がでてくるでしょう。
例えば、https://en.wikipedia.org/wiki/Splitting_lemma

自由R加群は、大体Rベクトル空間みたいなもので（体でないところが違うだけで、割り算をしない限り線型代数の結果が使える）、
その基底の行く先さえ決めれば写像が決まります。だから、今のpr_m(N)であれば、これはaを基底とすれば、aRという形であって、
したがって、aの行く先をpr_m^(-1)(a)の中から１つ選べば、pr_m(N)からNへの写像 φがきまり、pr_m(φ)=id(恒等写像）となっています。
このようなφが存在するので split します。

どちらも全然わからないのであれば、(ホモロジー代数などで)完全系列についての基礎を学習しましょう。