力学について質問です。 1.棒のねじりの角度をθ、ねじりのバネ定数をkとして、ねじりの振り子の運動方

力学について質問です。

1.棒のねじりの角度をθ、ねじりのバネ定数をkとして、ねじりの振り子の運動方程式を示しなさい。

2.ねじり振り子を角度θ=θ'だけねじり、時刻t=0に静かに放す。この条件のもと、1.の運動方程式を解きなさい。

この問題の答えを教えてください。

2.が同次系の微分方程式で解くのは分かるのですが、ωの初期条件が無く、求め方が分かりません。
ぜひ教えていただきたいです。

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/05/14 17:39

うぅーん・・・根本的にご理解なさってないのではないでしょうか。

回転慣性と k で振動数 ω は決まってしまうから，ご質問の「 ω の初期条件」・・・って何？　まずは，ねじれの静的なつり合い式がわかるなら，ニュートンの法則で　作用力＝回転慣性ｘ回転加速度　ですから，1. が誘導できますよね。2. は単なる数学。外力が無いから 1. の微分方程式の斉次解の積分定数を初期条件 θ(0)=θ' で決めればいいのでは？　多分，忖度すれば，初期速度 dθ/dt(0) = 0 でしょうね。基本のキですよぉー。

この回答へのお礼

すみません、おっしゃる通りまだ学び始めたばかりで理解が曖昧です。
初期条件と言ったのは、この手の問題の水平ばね振り子の問題の時は積分定数を求める時、x(0)=x'、v(0)=v'
などのように示されていたからです。
僕もθの時間微分がωなのは知っていましたが、t=0の時、θ=θ'とある中でdθ/dt(0)=0としてよいのでしょうか？これがよいのなら上記で例に挙げた、x(0)=x'の時、v(0)=0になりませんか？
とんちんかんなこと言っていたらすみません、その場合でもぜひわかりやすく教えていただきたいです。

お礼日時：2019/05/14 18:41

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/05/14 23:33

＞2.が同次系の微分方程式で解くのは分かるのですが、ωの初期条件が無く、求め方が分かりません。

ω は「角速度」（ω = dθ/dt）のことだと思いますが、問題文に「時刻t=0に静かに放す」とあるように、「t=0 のとき ω=0」と読めると思いますが？


通常の力学でお勉強した「直進運動」を、「回転運動」に変えたバージョンですが、内容を理解されているのですか？

何が変わるかと言えば

（直進運動）　　　　（回転運動）
変位：x　　　　　　　角度：θ
速度：v = dx/dt　　　角速度：ω = dθ/dt
加速度：a = dv/dt　　各加速度：dω/dt
質量：ｍ　　　　　　　関係モーメント：I
力：F　　　　　　　　トルク：T = r × F

運動方程式は
（直進運動）F = ma = dp/dt　　　（p：運動量）
（回転運動）T = I(dω/dt) = dL/dt　（L：角運動量）　　　　①

「ばね」の「力」と「変位」との関係は、
　F = -kx　　（k：ばね定数）
「ねじりばね」の「ねじり角度」と「トルク」の関係は
　T = -kθ　　　②

ここから先は、機械的にやればよいでしょう。
運動方程式①に②を代入すれば
　-kθ = I(dω/dt) = I(d²θ/dt²)
→　d²θ/dt² + (k/I)θ = 0　　　　③

ここで、「円板」の慣性モーメントは、円板の質量を M として
　I = (1/2)MR^2
なので、③は
　d²θ/dt² + [2k/(MR^2)]θ = 0　　　　④

これが「１」の答かな？

④の斉次二階方程式の特性方程式は
　λ^2 + 2k/(MR^2) = 0
→　λ = ±i√(2k/M) /R
なので、③の一般解は A = √(2k/M) /R と書いて
　θ = C1*sin[At] + C2*cos[At]　　　　⑤

初期条件より、
　t=0 のとき θ = θ'
なので、⑤に t=0 を代入して
　C2 = θ'

一方、角速度は、⑤を時間で微分して
　ω = dθ/dt = C1*Acos[At] - C2*Asin[At]
t=0 の初速はゼロなので、これに t=0 を代入して
　0 = C1*A
よって
　C1 = 0

従って、初期条件を満たす解は
　θ = θ'*cos[At]
（ただし、A = √(2k/M) /R）

この回答へのお礼

なるほど、問題文からt=0の時のωはω=0を読み取るということですね。
そして、わざわざ回答解説までつけていただき本当にありがとうございます！

お礼日時：2019/05/15 21:02