加法定理について

sinΣ(k=1 n)θ_kを求めようと思いました。
倍角の時と同じようにドモアブル的な方程式で行けるかと思いました。
試しにやってみると
cosΣ(k=1 n)θ_k+isinΣ(k=1 n)θ_k=Π(k=1 n) (cosθ_k+isinθ_k) (iは虚数単位)(この式結構きれいですよね)となりました
よってΠ(k=1 n)(cosθ_k+isinθ_k)を展開すればよかったんですが
どうすればいいですか?

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/05/23 23:39

「n = 0 のとき cos θ, n = 1 のとき sin θ」であるような関数 f(θ; n) を使えば

Π(k=1～n)(cos θ_k+i sin θ_k)
を無理矢理に展開することはできるけど....

結局どの項も相殺できないから「展開しました」って形にしかならない. 「覚える」だけならできる (cos の方がちょっと簡単) けど, 意味があるとは思えないな.

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/21 19:34

Π{k=1...n} (cosθ_k + i sinθ_k)

= Π{k=1...n} e^(i θ_k)
= e^(i Σ{k=1...n} θ_k)
= cos(Σ{k=1...n} θ_k) + i sin(Σ{k=1...n} θ_k))
ですから、
sin(Σ{k=1...n} θ_k)) = Im Π{k=1...n} (cosθ_k + i sinθ_k)
だというのは、そのとおりです。

ただ、そのことが計算の役に立つかといえば
大いに疑問です。
どうにもならないんじゃないでしょうか。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/05/21 00:11

どうにもなりません.

あきらめてください.

この回答へのお礼

そうなんですか...

お礼日時：2019/05/21 16:47