解答の過程を教えていただきたいです。 お願いします。

解答の過程を教えていただきたいです。
お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/09 16:53

この問題では、「個性」の発揮しようがないですね。

問題も答えも、あまりにも型どおり。

(1)
微分すると
f’(x) = e^(-x^3) + x・(-3x^2)e^(-x^3) = (1-3x^3)e^(-x^3),
f’’(x) = (-9x^2)e^(-x^3) + (1-3x^3)・(-3x^2)e^(-x^3) = 3(x^2)(3x^3 - 4)e^(-x^3).

これより、増減表は
x　(-∞)　　　　　　　　0　　　　　　(1/3)^(1/3)　　　　　(4/3)^(1/3)　　　　　(∞)
f''　　　　　　-　　　　0　　　　　　　　　-　　　　　　　　　　0　　　　　+
f'　　　　　　　　　　+　　　　　　　　　0　　　　　　　　　　-
f　(-∞)　　上凸増加　　　上凸増加　　　極大　　　上凸減少　　　下凸減少　　　(+0)
　　　　
(2)
D1 は 0≦x≦C, 0≦y≦f(x) だから、回転体の体積は(いわゆるミルフィーユ形の積分で)
V1(C) = ∫[0,C]π(f(x)-0)^2 dx = π∫[0,C](xe^(-x^3))^2 dx
= (-π/6)∫[0,C](-6x^2)e^(-2x^3)dx = (-π/6)[ e^(-2x^3) ]_(0,C) = (-π/6){ e^(-2C^3) - e^(-2・0^3) }
= (π/6){ 1 - e^(-2C^3) }

lim[C→∞]V1(C) = lim[C→∞](π/6){ 1 - e^(-2C^3) } = π/6.

(3)
(1)より M = f( (1/3)^(1/3) ) = 1/(3e)^(1/3).
D2 は 0≦x≦(1/3)^(1/3) , 0≦y≦M-f(x) だから、 回転体の体積は(いわゆるバウムクーヘン形の積分で)
V2 = ∫[0,(1/3)^(1/3)](2πx)(M-f(x)) dx = 2π∫[0,(1/3)^(1/3)]x(M - xe^(-x^3)) dx
= 2πM∫[0,(1/3)^(1/3)]xdx + (2π/6)∫[0,(1/3)^(1/3)](-6x^2)e^(-x^3)) dx
= 2πM(1/2){ ( (1/3)^(1/3) )^2 - 0^2 } + (2π/6){ e^(-2( (1/3)^(1/3) )^3) - e^(-2・0^3) }
= πM(1/3)^(2/3) + (π/3){ e^(-2/3) - 1 }
= π( 1/(3e)^(1/3) )(1/3)^(2/3) + (π/3){ e^(-2/3) - 1 }
= π/(3e^(1/3)) + π/(3e^(2/3)) - π/3.
= (π/3){ 1/e^(1/3) + 1/e^(2/3) - 1 }.

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/09 13:22

んまいなさんは、この手の数学の質問を沢山していますが、回答者さまの個性のある解き方を参考にして

黒チャートでも出版なさるのかねぇー