【数B】3項間の漸化式 重解になるときは？？教えて！！！！！

Q.次の漸化式によって定義される数列｛aₙ｝について、bₙ=aₙ₊₁-aₙとおき,
数列｛bₙ｝の一般項を考えることにより、数列｛aₙ｝の一般項を求めよ。

(2) a₁=0, a₂=2, aₙ₊₂-2aₙ₊₁+aₙ=0 (n=1,2,3, .......)

aₙ₊₂-2aₙ₊₁+aₙ=0をx²-2x+1=0として解いていくと思うのですが（特殊数列？？）、
(x-1)² =0で、解がx=1の重解になってしまいます( ´ ▽ ` )汗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　教えてください！！



もしよろしければ使ってください↓
（下）₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ
（上）⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ ⁿ

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/09 12:38

問題にあるとおり、b[n]をまず求めてみましょう。

a[n+2] - 2a[n+1] + a[n]=0
a[n+2] - a[n+1] - a[n+1] + a[n]=0
a[n+2] - a[n+1]=a[n+1] - a[n]
b[n+1]=b[n]

となり、数列b[n]は定数になることが分かります。よって、
b[n]=a[2]-a[1]=2
a[n+1] - a[n]=2

これは、初項0、公差2の等差数列となります。数列a[n]の一般項は、
a[n]=a[1]+2(n-1)=2(n-1)

ゆえに、a[n]=2(n-1)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/09 14:43

x^2-2x+1=0 の重解について述べているところを見ると、

斉次線型漸化式の一般解が特性方程式の解 λ を使って
λ^n に定数を掛けたものの和で表せることは知っているのですね。
特性方程式の解が重解でない場合は、そうなります。

特性方程式が m 重解 λ を持つ場合は、λ^n だけでなく
(n^k)λ^n ; k = 0,1,2,...,m-1 も使って定数倍の和にすればよいです。

この問題の場合、2重解 1 が 1個だけですから、
a_n = (c_1)1^n + (c_2)(n^1)1^n = (c_2)n ; c_1,c_2 は定数　となって
結果的に a_n は等差数列ですね。

問題の誘導は、この一般論を避けて、
a_n の階差が定数になることを求めさせることによって
a_n が等差であることを発見させようとしているのです。