数直線上の動点Pが、さいころを1回投げた時次の規則で移動する。 (a)1,2,3,4の目が出たら＋1

数直線上の動点Pが、さいころを1回投げた時次の規則で移動する。
　(a)1,2,3,4の目が出たら＋1だけ移動する。
　(b)5,6の目が出たら－1だけ移動する。
　Pは最初、数直線上の0にあるものとし、n回さいころを投げた時のPの座標をf(n)とする。

(1) f(6)＝2，f(6)＝3 となる確率をそれぞれ求めよ。
(2)0≦f(k)≦n－2(k＝1,2,･･･,n) かつ f(n)＝n－2 となる確率を求めよ。ただし、nは自然数で、n≧2 とする。


(2)が解説を見てもよく分かりません。優しく教えていただけるて幸いです。(1)も出来たらでいいので簡単に教えてくれると助かります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/01 04:14

ああそうか。

f(k)≦n-2 だけじゃなく 0≦f(k) の条件もあったから、
-1 は、2 ... n-1 回目のどれかですね。
確率は、(n-2)(1/3)(2/3)^(n-1) か。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/30 19:09

#1

急いでいたので、難しい考え方を書いてしまいました
(2) の0≦f(k)≦n－2(k＝1,2,･･･,n)の解釈は#1に書いた通りです。
この条件なしに,f(n)＝n－2 となる確率は
f(n)=n-2となるケースは、+1の移動n-1回、-1の移動が1回ですから
nC1x(1/3)x{(2/3)^(n-1)}

ここで、第１の条件が加わると
1投目の出目で、-1の移動をしてはいけない、n-1投連続で+1の移動をしてはいけない
という縛りが付くことになります。
1投目の出目で、-1の移動をする確率は(1/3)x{(2/3)^(n-1)}
n-1投連続で+1の移動をする確率も(1/3)x{(2/3)^(n-1)}
ゆえに、0≦f(k)≦n－2(k＝1,2,･･･,n) かつ f(n)＝n－2 となる確率は
nC1x(1/3)x{(2/3)^(n-1)}-2ｘ(1/3)x{(2/3)^(n-1)}=(n-2)x(1/3)x{(2/3)^(n-1)}
=[(n-2)/2]x(2/3)^n・・・答え

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/30 15:46

(1)が誘導になっていますね。

f(n)=n-2 ということは、n回の移動のうち、+1 が n-1回、-1 が 1回だったということです。
しかも、0≦f(k)≦n-2 (k=1,2,･･･,n) ですから、最後の n回目が -1 ではいけません。
-1 が登場する時期は、n回目以外ならどこでもいいことも判ります。
k 回目に -1、他は +1 移動する確率は k によらず (1/3)^1・(2/3)^n-1 ですから、
求める確率は、Σ[k=1...n-1](1/3)^1・(2/3)^n-1 = (n-1)(1/3)(2/3)^n-1 です。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/30 13:06

(1)

f(6)=2とは、6回さいころを投げた時、数直線上のPの座標が２であるということ！
そのようになるのは、+1+1+1+1-1-1…①のように
＋１の移動が4回、－１の移動が2回となる場合だけ
+1の移動となる確率は4/6=2/3
-1の移動となる確率は2/6=1/3だから
①のようになる確率は(2/3)⁴(1/3)²
座標が２になるケースは
①の他にも、-1+1+1+1-1+1や
-1-1+1+1+1+1など
6C2通りあるので，f(6)＝2となる確率は
６C2x(2/3)⁴x(1/3)²=計算はご自分で

f(6)=3となるようなケースは無いので　確率０
（本問のルールで6回サイコロを振ると、Pの座標は２の倍数となる）

（２）(2)0≦f(k)≦n－2(k＝1,2,･･･,n) かつ f(n)＝n－2 となる確率を求めよ。ただし、nは自然数で、n≧2 とする。

例えば(1)に絡めてn=6（サイコロを6回振る）として小手調べ！
0≦f(k)≦6－2(k＝1,2,･･･,6) かつ f(6)＝6－2 となる確率を求めよ という事になります
第1の条件から,
0≦f(1)≦4
0≦f(2)≦4
・・・
0≦f(6)≦4
これは、Pの座標が１投目終了後、２投目終了後・・・６投目終了後のいずれでも0から４であるということ
つまり、例えば１投目に５，６の目が出てPが-1に移動してはいけないという事です。
また、１から５投目で連続して１から４の目が出て、＋５に移動してしまうのもダメです
第２の条件から　６投目終了後の位置が4である確率を求めよという事です
併せて、Pは(座標が)0から4の範囲内で移動をしながら、６投目終了後に座標４となる確率を求めよという事です。
このルールで、n=6なら、該当するケースを全て書き出すなどすれば確率が求まると思います

しかし、文字nを用いてf(n)=n-2ではｎが大きくなるほど該当するケースを全て書き出すなんてことは不可能になります。そこで、以下のように漸化式を考えます
（２）のルールで、f(n)=n-2（n投目終了後、Pの座標がn-2)…①となるためには
f(n-1)=n-3（n-1投目終了後、Pの座標がn-3)でなければいけない
そのためには、f(n-2)=n-2,n-4（n-2投目終了後、Pの座標がn-2またはn-4)…②でなければいけない
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このことから、第一の条件を満たしながら、n投目終了後のPの座標がn-2である確率をk(n)として考えます
すると、n-1投目終了後のPの座標がn-3である確率はk(n-1)　←←←nをn-1に置き換えただけのこと
n-2投目終了後のPの座標がn-4である確率はk(n-2)…③　←←←nをn-2に置き換えただけのこと
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・
と表せます。ここからが、慣れまたはヒラメキ、センスなのですが、n-2投目に着目すると良さそう
というのも、①となるためには②でなければならないのですが
③より、n-2投目終了後、Pの座標がn-4である確率はk(n-2)ですし、
n-2投目終了後、Pの座標がn-2であるためには、さいころ振りですべての回について、1~４の目が出ないとn-2には到達できないので、
n-2投目終了後、Pの座標がn-2である確率は(2/3)^(n-2)
というように、②である確率は、文字1種類と数値で表わすことが出来るからです
（n-2投目以外の確率は少なくとも文字2種類が必要）

このことから、n-2投目終了後、Pの座標がn-4で、その後ｎ投目に座標n-2に到達する確率は(2/3)²
n-2投目終了後、Pの座標がn-2で、その後ｎ投目に座標n-2に到達する確率は(1/3)x(2/3)
よってk(n)=k(n-2)x(2/3)²+{(2/3)^(n-2)}x(1/3)x(2/3)
以下この漸化式から、k(n)を求めると答えにたどり着けるとは思いますが、急用なので一旦ここまでにさせてもらいます