剛体に働く力のつりあい（斜面上の直方体）

この問題がとてもとても気になります：

傾きθの斜面上に、辺の長さがa、bである面を手前に向けて、質量mの均質な直方体が静止している。この直方体に、斜面に平行で大きさFの力を右下端からhの位置に加えると、直方体が左下端Pを中心に傾き出す前に斜面を滑り出した。直方体と斜面との間の静止摩擦係数をμとする。

hが満たす条件は？
答えは：h<(acosθ+bsinθ)/2(sinθ+μcosθ))　選択肢で３番目

私はちょっと力不足で、どうやって導けるがか分かりません…

よろしければ、ご解説をお願いいたします〜

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/07 11:49

「剛体の運動」は、

(a) 重心の並進運動
(b) 任意の点の周りの回転運動
の2つを考える必要があります。

この問題の場合には、
(a) 並進運動 = 斜面に沿った運動：滑る運動
(b) 回転運動 = 点Pを中心とした「転倒」
を考えることになります。

高さ h を押す力 F が、最大静止摩擦力よりも大きければ「滑り」始めるし、
点Pの周りの「反時計回り」の力のモーメントが、「時計回り」よりも大きければ「転倒」します。
どちらが起こるかを考えればよいのです。

物体の最大静止摩擦力 Fm は、斜面から受ける垂直抗力が
　N = mg*cosθ
なので、
　Fm = μN = μmg*cosθ
です。
加える力 F が、重力による斜面下向きの力 + 最大静止摩擦力よりも大きければ滑り出します。つまり、滑り出す条件は
　F ≧ mg*sinθ + Fm = mg*sinθ + μmg*cosθ　　　①

一方、点Pの周りの力のモーメントは、
・時計回り：重心に働く mg によるモーメント。「腕の長さ：L」は、重心から鉛直下に伸びる「力の作用線」と点Ｐの距離なので（図は、あたかも作用線が対角線と一致するかのように書かれているので誤解しそうです）
　　L = (a/2)cosθ + (b/2)sinθ
なので
　　Ma = mgL = (1/2)mg(a*cosθ + b*sinθ)
・反時計回り：力 F、作用線までの腕の長さが h なので
　　Mb = F*h
転倒するためには Mb ≧ Ma である必要があるので
　　F*h ≧ (1/2)mg(a*cosθ + b*sinθ)
→　F ≧ (1/2)mg(a*cosθ + b*sinθ)/h　　　②

転倒せずに滑り出すためには、② > ① であればよいので
　　(1/2)mg(a*cosθ + b*sinθ)/h > mg*sinθ + μmg*cosθ
これを h について整理すれば
　　(a*cosθ + b*sinθ)/[2(sinθ + μ*cosθ)] > h

選択肢では「３」でしょうか。（目がちらちらして、誤認識しそうですが・・・）

この回答へのお礼

回答を本当にありがとうございました！

すみません、
このLについてですが：
＞腕の長さ：L」は、重心から鉛直下に伸びる「力の作用線」と点Ｐの距離なので
（図は、あたかも作用線が対角線と一致するかのように書かれているので誤解しそうです）→対角線と一致しないなら、この作用線は一体どのように引けばいいですか。

理解不足で申し訳ありませんが、＞L = (a/2)cosθ + (b/2)sinθ　→があんまり想像できませんね…

それらをもうちょっと解き明かしていただけないでしょうか。
よろしくお願いします〜

お礼日時：2019/07/08 08:03

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/07/08 16:18

ゴチャゴチャしているので考えていたら、もう一つ評価が抜けていた。

P点で転倒しない条件を出しているが、当然、反対側の角でも転倒しない評価が必要。それは
(mg/2)(bsinθ-acosθ)≦hF

しかし、P点の非転倒条件
Fh≦(mg/2)(acosθ+bsinθ)・・・・①
にいれると　bsinθ-acosθ≦{Fh/(mg/2)}≦acosθ+bsinθ → 0≦acosθ
で自動的に満たされている。したがって、本筋とは関係なかった。


なお、始めの問題の最後の結論は、①を変形して
h≦(mg/2)(acosθ+bsinθ)/F・・・②

滑り出し条件 F>mg(sinθ+μcosθ) → 1/F<1/{mg(sinθ+μcosθ)}
を②に入れて
h≦<mg/2)(acosθ+bsinθ)/{mg(sinθ+μcosθ)}=(acosθ+bsinθ)/{2(sinθ+μcosθ)}
となり、すっきり。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました；）

お礼日時：2019/07/17 19:06

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/08 11:27

No.1です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞＞腕の長さ：L」は、重心から鉛直下に伸びる「力の作用線」と点Ｐの距離なので
＞＞（図は、あたかも作用線が対角線と一致するかのように書かれているので誤解しそうです）
＞→対角線と一致しないなら、この作用線は一体どのように引けばいいですか。
＞
＞理解不足で申し訳ありませんが、＞L = (a/2)cosθ + (b/2)sinθ　→があんまり想像できませんね…

「想像」というよりは、きちんと図を書いて対応関係を確認しないといけません。
下記のような図で分かりますか？

この回答へのお礼

お返事を遅れてしまい失礼しました

はい〜今はとてもよく分かりました:D !
適当な図を描くことが下手なので、ご回答はとてもとても助かりました！
本当にありがとうございました；）

ベストアンサーをどうぞ〜

お礼日時：2019/07/17 19:11