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No.1
- 回答日時:
R’=R∪{+∞, -∞}という話でしょう。
連続性を考える以上は、R’の位相(要するに「近傍」の定義)がうまく与えられていて、R’の部分集合で「+∞の近傍」「-∞の近傍」となるものがそれぞれ定義されるようになっているものとします。で、f:R’→R’ のときfがxで連続 ⇔ ∀V( Vはf(x)の近傍 ⇒ ∃U(Uはxの近傍 ∧ f(U)⊂V)
ってことです。
ご質問の場合にはfが定数関数 f(x)=c なので、
∀U(U⊂R’ ⇒ f(U)={c})
∀V(Vはf(x)の近傍 ⇒ c∈V)
である。だから、
∀V(Vはf(x)の近傍 ⇒ ∀U(f(U)⊂V)
である。Uは何でもいいのだから、Uをxの近傍に限っても構わない。だから
∀V( Vはf(x)の近傍 ⇒ ∃U(Uはxの近傍 ∧ f(U)⊂V)
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