互いに素な２数の和は、元の数達と互いに素か？

この証明の流れを教えてください。

a+b=c
a,bが互いに素なら
a,b,cも互いに素か

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2019/07/10 20:26

文字は 全部整数を表す として、

a, b が 互いに素である とすると
a=pn, b=pm と表せない ことになります。
従って　a+b=c=p(n+m) と表すことが出来ないので、
c も a, b と互いに素 と云うことになります。

一般的には 問題の逆を 仮定して
矛盾を 導き出す 方法が取られます。
この場合は、互いに素ではないと仮定して、
理屈に合わないことを示して、
結果的に 素であることの 証明にします。

この回答へのお礼

no3さんの回答をよりスッキリ表した感じですかね。
ありがとうございました。

お礼日時：2020/06/26 18:17

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2019/07/10 17:32

X,Yは0でない整数だとするとき、

　「X,Yが互いに素」ってのは「X/Yは約分できない」ってことと同じであり、「Y/Xは約分できない」とも同じです。で、

　c/b が約分できる場合を考える。言い換えれば、
　　c/b = p/q　（ただし |q|＜|b| ）
を満たす整数p,qが存在するということです。このとき、
a/b = (a+b)/b - 1 = c/b - 1 = p/q - 1 = (p-q)/q
だからa/bも約分できる。
　従って、a/bが約分できないならば、c/bも約分できない（つまり c,bは互いに素）。

aとbの役割を入れ替えて同じ話をすれば、
　従って、b/aが約分できないならば、c/aも約分できない（つまり c,aは互いに素）。

この回答へのお礼

五十路マス嗜む謝意

お礼日時：2019/07/12 08:49

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/07/10 14:43

互いに素と互いに素数は違いますよね。

（４と５は互いに素ですが、互いに素数ではありません）
a,b互いに素の時aとbに同じ約数のない数です。
aとbに同じ約数が無ければｄ（a/d+b/d)の形で表せないことです（a/dとb/dは整数）。
よって、ｃ＝ｄ（a/d+b/d)と表せないのでｃにも同じ約数のない数になります。
a,b,cも互いに素になります。

この回答へのお礼

長い時間考えてようやく分かりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2020/06/26 18:16

No.2 回答者： ワヲン 回答日時： 2019/07/10 10:49

背理法を考える。

aとcが互いに素でないと仮定するとある整数m,A,Cを用いて、
a=mA、c=mCと表せる。
a+b=cの関係より、
mA+b=mC
b=mC-mA=m(C-A)
と表せる。
A,Cが整数であることより、C-Aも整数であるが、
a=mA, b=m(C-A)
と表せていることは、a, bが互いに素であることに反する。
従って、aとcは互いに素である。
bとcで仮定しても同様に示せるため、a,b,cは互いに素となる。

この回答へのお礼

お礼遅くなりすみません。
出来る人にはこんなに簡単に証明できるのですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2019/08/13 09:37

No.1 回答者： kihonkana 回答日時： 2019/07/10 09:51

たとえば、5も7も素数？

なら12（5+7）は？

この回答へのお礼

その例１個は分かりますが、証明として一般化するのは別の話ではないでしょうか？
そもそもaもbも素数の例を持ち出す意図が分かりません。

お礼日時：2019/07/10 09:55