このような物体系で力学的エネルギーエネルギーが保存する事を運動方程式から導出する式を教えて下さい.

このような物体系で力学的エネルギーエネルギーが保存する事を運動方程式から導出する式を教えて下さい.

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/16 18:37

＞力学的エネルギーが保存する事を運動方程式から導出する

のではなく、エネルギーのロスや非保存力がないと仮定すれば、力学的エネルギーが保存するので、それを利用して u, h を求める、ということです。

小球が「回転」したり、それに伴ってゴムボールのように変形・振動したり、泥玉のように変形したり、床に粘着したり、ゴロゴロと音を立てたり、空気の抵抗を受けたりしたら、力学的エネルギーは保存しませんから。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/07/16 18:37

時刻tでのAがBに及ぼす力を(Fx(t),Fy(t))とします。

BがAに及ぼす力はそれとは逆符号になります。
Aの速度を(vx(t),vy(t)),Bの速度を(Vx(t),0),Aの加速度を(ax(t),ay(t)),Bの加速度を(Ax(t),0)と置くと運動方程式は

A 水平成分: -Fx(t)=m*ax(t)
鉛直成分: -Fy(x)-mg=m*ay(t)

B 水平成分: Fx(t)=3m*Ax(t)

となります。(鉛直方向は上向きを正にとります)
あとこれに拘束条件として斜面の形状が入ってきます。

運動エネルギーと位置エネルギーを知るためにはA,Bの速度とAの高さy(t)の情報が必要となります。
Aの運動エネルギーTa(t)=(1/2)m*{(vx(t))^2+(vy(t))^2}
Bの運動エネルギーTb=(1/2)3m*(Vx)^2
Aの位置エネルギーU(t)=mg*y(t)

この三つの和が力学的エネルギーになります。
E(t)=(1/2)m*{(vx(t))^2+(vy(t))^2}+(1/2)3m*(Vx)^2+mg*y(t)

これが保存することを示すにはE(t)を時間で微分したら0になることを示せばよい。

dE(t)/dt=m{(vx(t))*(vx(t))'+(vy(t))*(vy(t))'+3(Vx(t))*(Vx(t))'+g*y'(t)}
=m*{(vx(t))*(ax(t))+(vy(t))*(ay(t))+3(Vx(t))*(Ax(t))+g*(vy(t))}
=m*{(vx(t)*(-Fx(t)/m)+(vy(t)*(-Fy(t)/m-g)+3(Vx(t)*(Fx(t)/(3m))+g*(vy(t))}
=-(vx(t)*Fx(t)-(vy(t))*Fy(t)+Vx(t)*Fx(t)

となります。(1式)


ここに斜面の拘束条件として時刻tの時の斜面の傾斜角θ(t)をくわえる。
Bに対するAの相対速度は斜面と平行であるから
vy(t)/{vx(t)-Vx(t)}=tanθ(t)
BがAに及ぼす力は垂直抗力だけであることから力の向きは斜面に垂直であるため
-Fx(t)/Fy(t)=tanθ(t) (符号に注意)
この2式からtanθ(t)を消去すると
-vy(t)/{vx(t)-Vx(t)}=Fx(t)/Fy(t)
-(vy(t))*Fy(t)={vx(t)-Vx(t)}*Fx(t)

この式を(1式)に代入すると全て消えて0になります。E(t)時間微分すると0になることからE(t)は時間変化しない、力学的エネルギーは保存されます。