質量mの小球が円錐面上を円運動しているとします。
※円錐面のイメージは、下記URL参照ください。(図だけ借りています)
https://www.rikagasuki.com/2017-4a
小球の速度をv、円の半径をrとします。物体には下記の3つの力が働きます
①遠心力 mv^2/r
②斜面下方向の力 mgcosθ
③垂直抗力 mgsinθ
円の中心方向につり合いにおいて、正しいのは次のどちらですか?
1
上記①~③がつりあっているので、
mv^2/r = mgsinθ・cosθ + mgcos・sinθ
2
上記①と③がつりあっているので、
mv^2/r = mgsinθ・cosθ
もし2が正解の場合は、なぜ1ではだめなのかを教えてください。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
>No.4の方の回答(m(v²/r)=mgcosθsinθ+Fcosθ)
これは勘違いがあるようですね。
球にかかる力はあくまで
・真下へ向う重力
・水平左へ向う遠心力
・水平右よりθ上方向に向う垂直抗力F
の3つだけです。
mgcosθsinθは斜面を球が転がり落ちる時の
垂直抗力の水平成分。この問題では運動が異なるので
③と同じ理由で使えません。
ありがとうございます。
私自身の理解力が足らず、まだ、理解の半ばですが、
丁寧にご説明いただきまして、大変ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
図を書いて整理しましょう。
小球に働く力は重力mgと、小球に接している物(斜面)から受ける垂直抗力Fのみ
この段階では垂直抗力は不明なのでFとしておくのが適切
→下図の通り(矢印の長さは正確ではありません)
①もし、小球が円運動していないで図の位置にあるなら、垂直抗力はmgsinθの反作用ですからF=mgsinθ
ただし、斜面上向きの力が働かないので、その後小球は斜面を滑り落ちていきます。
②小球が等速円運動しているなら、小球に乗っかった人の立場から見れば遠心力が働くので①のときより小球は斜面に押し付けられる力が強まる!
従ってF>mgsinθ! ・・・このことから、垂直抗力(F)は現段階で具体的にどのような式になるか不明なのです。
よって、③垂直抗力 mgsinθは間違いです(下図に従えば、垂直抗力はF)
ゆえに「③垂直抗力 mgsinθ」を含む時点で
「1
上記①~③がつりあっているので、
mv^2/r = mgsinθ・cosθ + mgcos・sinθ」は間違いです!
正しくは、
斜面下方向の力 mgcosθの水平成分と、垂直抗力Fの水平成分が 向心力 となる
→mgcosθsinθ+Fcosθ=m(v²/r)
または、小球の立場から見て遠心力と向心力(斜面下方向の力の水平成分と、垂直抗力の水平成分の和)が釣り合っているので
m(v²/r)=mgcosθsinθ+Fcosθ
となります
従って 2も間違い
ありがとうございます。図も書いていただき、感謝しております。
現在、教えて頂いたことを理解しているところですが、
m(v²/r)=mgcosθsinθ+Fcosθ の部分について、
No.3の方の回答(Fcosθ=mv^2/r)
と違っているように思うのですが、
どちらの方が正しいでしょうか?
No.3
- 回答日時:
どちらもθ→0でv→0 になってしまう。
物理的にちょっと想像すれば θ→0でv→∞は明らかだから 不合格。
③が駄目。斜面の場合の垂直抗力の式を
コピーしているだけで何の根拠も無い。
束縛カの理解をもう少し深めるべき。
重カと垂直抗力の合力が
(1)水平になる
(2)遠心力と釣り合う
で解くべきで、その結果垂直抗力が決まる。
垂直抗力をFとすると、
(1)から、垂直方向は釣り合うはずなので
Fsinθ=mg → F=mg/sinθ
つまりθが小さいときは垂直抗力の
垂直成分(円錐面に垂直ではなく鉛直方向の成分)が小さくなるので
重力と対抗するには大きな力が必要になる。
(2)から
Fcosθ=mv^2/r →mg/tanθ=mv^2/r
これが水平方向の、回転座標系での釣り合いの式。
尚、遠心カを使うなら、何故コリオリの力を考えなくて良いのか
ー言は言及した方がよいと思う。
ありがとうございます。現在、教えて頂いたことを理解しているところですが、
Fcosθ=mv^2/r の部分について、No.4の方の回答(m(v²/r)=mgcosθsinθ+Fcosθ)
と違っているように思います。
どちらの方が正しいでしょうか?
No.1
- 回答日時:
小球の速度をv、円の半径をrとして、小球が円錐面上を円運動のできる条件は
滑り落ちる力=mgcosθと遠心力で滑り上がる力=mv²/r*sinθが等しい時です。
mgcosθ=mv²/r*sinθになります。
円錐面上での力のバランスなので、垂直抗力 mgsinθを考慮した式1,2共に間違いです。
mgcosθ=mv²/r*sinθからr=v²tanθ/gが得られます。
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