次の問題が(1)から(5)まで正しいかどうかご指摘ください。お願いします。
問題
複素ポテンシャルW(z)=Az^2(Aは正の実数、zは複素数でz=x+iy)について以下の問いに答えよ。
(1)流れ関数Ψを求めよ。
(2)xy平面上に流線を描き、各流線上に流れの向きを表す矢印をつけなさい。
(3)xy平面上の原点と(x,y)=(b,b)を結ぶ線分を横切る流体の体積流量を求めよ。
(4)xy平面上で、0<=x<=b,0<=y<=bの正方形経路上の循環を求めよ。
(5)この正方形領域内で流体に作用するy方向の力の大きさと向きを求めよ。ただし流体の密度をρとし、奥ゆきは単位長さとする。
---------------------------------------------------------------------------------
(自分の解答)
(1)W=φ+iΨyより
φ=A(x^2-y^2)
Ψ=2xyA
(2)Ψ=2xyAより漸近線をx,y軸とする直角双曲線となる。
流れの向きとはどのようにしたらわかるのでしょうか?
(3)流量は流線の差から求められるので
Ψ(b,b)-Ψ(0,0)=2Ab^2
(4)
u=∂φ/∂x=2Ax, v=∂φ/∂=-2Ayより速度ベクトルV=(2Ax、ー2Ay、0)
よって渦度は
渦度=(0,0,0)
よって渦度が0なので循環も0
(5)
連続の式より
du/x+dv/y=2A-2A=0
よってこの流れは非圧縮性流体とわかる。
y軸方向の力をF_yとおくとオイラーの方程式より
(∂v/∂t+u∂v/∂x+v∂v/∂y)=F_y
F_y=4A^2y
よってF_yb-F_y0=4A^2b-4A^2y*0=4A^2b となりy軸の負の方向に生じる。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
質問文での解答、(4)までは完璧です。
流れの方向は、速度成分を見れば判りますね。(2)で算出されているように、A>0の場合、第一象限(x>0、y>0)では、uは常に正、vは常に負ですから、流れは「左上」から「右下」方向ですね。
さて、(5)が違っています。 ρが抜けているのは”ご愛嬌”でしょうが、それだけじゃなくて、、、
オイラー式で表されているF_yは、これはフィールド内の1点に注目して、そこに存在する流体粒子に作用する局所的な力(つまり「応力」)の成分ですから、「検査領域で流体にかかる力」のトータルを計算するには、これを検査領域に渡って面積分しなければならないはずです。
つまり、F_y・dx・dyをそれぞれ0からbまで積分することになり、したがって、答えは、ρ・2A^2・b^3となるはずです。これが、流体”に”作用している力で、正値ですから、向きは上方向ということになります。(流れは、その方向;上へ曲げられているのです)
>流れの方向は、速度成分を見れば判りますね。(2)で算出されているように、A>0の場合、第一象限(x>0、y>0)では、uは常に正、vは常に負ですから、流れは「左上」から「右下」方向ですね。
なるほど、腑に落ちました。
(5)の問題もわかりやすかったです。ご回答ありがとうございました。
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