微分積分 高校

高校生の息子に微分積分を教えています。 どなたか、お願いします

質問者からの補足コメント

• 写真がぶれていてみづらいので、もう一度書きます。
  Anti differentiate のルールが思い出せません。

  
    補足日時：2019/07/27 11:52

• 写真の上の数式をantidifferenciate すると、下の数式になる。又は下の数式をdifferentiate すると上の数式になる。ルールが思い出せません。 どなたか、教えてください

    補足日時：2019/07/27 11:55

• 

  英語のことなんですが、integrate と書かないで
  Evaluate the definite integrals と書いていて、その簡単な説明として Antidifferentiate the integrand と書いてますね。つまらない事を補足してすみません。ちなみにオーストリアです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/07/27 21:50

• 

  お答えいただきました回答者様の皆様。やっと意味がわかりました。本当にありがとうございます。大変助かりました

    補足日時：2019/07/27 21:55

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/27 13:10

特に以下の定理①と③を思いだしてください

t=2x+1とおくと
x=t/2-1/2
dx=(1/2)dt
(参考:dt/dx=(2x+1)'=2)
これを用いて
∫4(2x+1)⁻³dx=∫4t⁻³・(1/2)dt＝2∫t⁻³dtです。
微分と積分は互いに真逆の操作（不定積分したものを微分すれば、もとの形に戻るという事）と言えますから、
∫t⁻³dtの結果を微分すればt⁻³に戻るという事になります。
そこで定理:(d/dt)t^n=(t^n)'=nt^(n-1)　…①
を用いて、微分すればt⁻³にもどるようなtの関数を探ります
①より、微分するとt⁻³になるような関数は、次数-3を1つ上げてt⁻²とであるという事はすぐに思いつくことですから、
①にn=-2を代入して
(t⁻²)'=(-2)t^(⁻²⁻¹)=-2t⁻³⇔{(-1/2)t⁻²}'=t⁻³が導き出せます
このことから、
∫t⁻³dt
=∫{(-1/2)t⁻²}'dt
=(-1/2)t⁻² +C 　（←←←直前の式は微分して積分しているから、結局(-1/2)t⁻²を微積しない場合と同じことになる）
となることが分かります。
ただしCは積分定数（以下定積分を論じているから省略します）
ゆえに
∫4(2x+1)⁻³dx=2∫t⁻³dt=２・(-1/2)t⁻²=2・(-1/2)(2x+1)⁻²…②
定数部分の処理のしかたによっては
∫4(2x+1)⁻³dxは画像のように{4(2x+1)⁻²}/({2x(-2)}となります
（説明の便宜上、途中で係数4などを積分記号の外に出したので、この回答では②の形になりましたが
2・(-1/2)(2x+1)⁻²={4(2x+1)⁻²}/({2x(-2)}です）

また、微分に関しては次のようになります
y=4(2x+1)⁻²/{2x(-2)}、
u=2x+1とおくと
y=4u⁻²/{2x(-2)}
定理１より、dy/du=[4u⁻²/{2x(-2)}]'=(-u⁻²)'=-(-2)u⁻³
du/dx=(2x+1)'=2　だから
ここで定理:dy/dx=dy/du・du/dx…③を用いると4(2x+1)⁻²/{2x(-2)}の微分は
dy/dx=dy/du・du/dx={-(-2)u⁻³}2=4u⁻³=4(2x+1)⁻³

この回答へのお礼

ありがとうございます。数学の天才ですね！ 私にはもしかして、高度過ぎたのかも知れません。もうちょっと勉強してみます。

お礼日時：2019/07/27 17:53

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/07/27 13:42

ｙ＝－（２ｘ－１）⁻²の微分はｙ’＝２（２ｘ－１）⁻³＊（２ｘ－１）’＝４（２ｘ－１）⁻³で

ｙ＝４（２ｘ－１）⁻³の積分は－（２ｘ－１）⁻²と、互いに逆の関係にあります。
∫ｙ’ｄｘ＝∫(dy/dx)ｄｘ=∫ｄy=yですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。単純明快に教えていただき感謝です。もうちょっと勉強してからもう一度考えてみます。

お礼日時：2019/07/27 17:55

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/27 14:38

integrate じゃなくて、antidifferenciate って言うんですね。

differentiate する方法を思い出して逆用しろ
って気持ちが伝わって、味のある言葉だなあ。

多項式を微分するルールは、
微分の線型性 (d/dx)(a f(x) + b g(x) ) = a f’(x) + b g’(x) と
公式 (d/dx)x^n = nx^(n-1) です。
これを逆用するわけだから、積分は ∫ x^(n-1) dx = (1/n)x^n + (定数).

写真の例題では、もうひとつ、合成関数の微分法則
(d/dx)f(g(x)) = f’(g(x)) g’(x) も使っていて、
特に g(x) = ax+b であれば、(d/dx)f(ax+b) = a f’(ax+b).
よって、∫ f’(ax+b) dx = (1/a) f(ax+b) + (定数).

これらを使って、
∫4(2x-1)^-3 dx = 4∫(2x-1)^-3 dx = 4(1/2)∫y^-3 dy　; y=2x-1
= 4(1/2){1/(-2)} y^-2 + (定数) = 4(1/2){1/(-2)} (2x-1)^-2 + (定数).
上の写真の2行目に出てくる 4,2,-2 は、こうして生じます。
(定数)は、積分定数ですから、定積分にすると差し引きで消えますね。

この回答へのお礼

私が思うに、この質問にサクサク答えられる方って、相当な数学の強者の方たちなんだな〜って今思ってます。私は基本が余り分かってなかったみたいで、息子の数学の本の１つ前のチャプターを読んで理解してからもう一度皆様のお答えを理解してみようと思いました。ありがとうございます。

お礼日時：2019/07/27 17:59