ρ(z)の定義はどうするのでしょうか？

アヒエゼル/グラズマン　著
ヒルベルト空間論　下
の　17ｐ　の最後に

函数論でよく知られた定理によって
ω(ζ)＝。。。
となっているのですが、

複素平面での線積分を使って、
次の実数軸上での積分の値を求めるのだと思います。
∫[-∞,∞]｛dρ(λ)/(λｰζ)｝　　（ζは定数、λで積分する）
ここで、
ρ(t)=(Etg,g)
Et　は自己共役作用素　A　のスペクトル函数
ｔは実数で、-∞　から　∞　まで変化する。

困っているのは、
複素平面での大きな半円上での線積分ですが、
ρ(ｚ)　は
ｚが複素数の時にはどのように定義したらよいのでしょうか？
ということです。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  ∫[-∞,∞]｛dρ(λ)/(λｰζ)｝　　（ζは定数、λで積分する）
  の積分を
  w(ζ)＝∫[a,b]｛dρ(λ)/(λｰζ)｝（ζは複素数で実数ではない、aからbまでλで積分するa,b,λは実数）
  とするとき、
  w(ζ)は正則関数になるらしい。
  これを使えば良いのかもしれない。

    補足日時：2019/08/01 23:03

No.2 ベストアンサー 回答者： dainagons 回答日時： 2019/07/29 02:29

複素積分とは、複素平面上の線積分として定義しているというのが正しい認識だと思います．

更に、複素平面上の線積分は、実数上の積分に帰着することで定義しています．
(*実数上の積分への帰着の仕方はいくらでもあるので、帰着の仕方によらず一意になることは証明してあるはず)
https://ja.wikipedia.org/wiki/複素線積分
問題のρ(ｚ)の場合、大きな半円の半径をRとすると、例えば、実数上の区間を直径分として[-1,1] 半円の弧の分として、[1,2]とでもしたらよいのでは?
-1<=t<=1 ⇒ z(t)=Rt
1<=t<=2 ⇒ z(t)=R*exp((t-1)iπ)
∴∫(ρ(ｚ)dz 半円上)=∫(ρ(Rt)dt [-1,1])+∫(ρ(R*exp((t-1)iπ))dt [1,2])

この回答へのお礼

ありがとうございます。
分からなくなるのは
ρ(R*exp((t-1)iπ))
の部分です。
この場合は、
ρ(t)=(Etg,g)
Et　は自己共役作用素　A　のスペクトル函数
に対して、
ρ(R*exp((t-1)iπ))=(E(R*exp((t-1)iπ))g,g)
となるので、
E(R*exp((t-1)iπ))　
を考えなくてなりません。
この本では、
ｔが複素数の場合の　Et　の説明はありません。

お礼日時：2019/07/29 07:04

No.1 回答者： dainagons 回答日時： 2019/07/29 02:16

複素積分とは、複素平面上の線積分として定義しているというのが正しい認識だと思います．

更に、複素平面上の線積分は、実数上の積分に帰着することで定義しています．
(*実数上の積分への帰着の仕方はいくらでもあるので、帰着の仕方によらず一意になることは証明してあるはず)
https://ja.wikipedia.org/wiki/複素線積分
問題のρ(ｚ)の場合、大きな半円の半径をRとすると、例えば、実数上の区間を直径分として[-1,1] 半円の弧の分として、[1,2]とでもしたらよいのでは?
-1<=t<=1 ⇒ z(t)=Rt
1<=t<=2 ⇒ z(t)=R*exp((t-1)iπ)
∴∫(ρ(ｚ)dz 半円上)=∫(ρ(Rt)dt [-1,1])+∫(ρ(R*exp((t-1)iπ))dt [1,2])