Aにおいて、お互いに式は異なりますが、各dθの条件により導かれる式は- sinθと同じになります。し

Aにおいて、お互いに式は異なりますが、各dθの条件により導かれる式は- sinθと同じになります。しかし、式に実際のdθの値を入れた場合導ける極限値はほぼ同じである為、お互いの式は式の形は異なり置き換えなどして一致させる事はで
きないが、dθに値を代入した時の導ける極限値はほぼ同じであるため、お互いの式は形は違うが同じと言えるのでしょうか？
Bに関しても同類の質問です。

質問者からの補足コメント

• Aの二つの式のdθに符号が付かない場合、すなわちdθ→0の極限での時、同じ式になるそうですが、5-(0.0001)や5+(0.0001)を考えると違う値になるのですが、違う値を導くのになぜ同じ式なのかわかりません。

    補足日時：2019/07/29 21:49

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/08/04 20:37

あなたの質問文の中に「極限値はほぼ同じである」という文があるが、この表現を使ってはダメです。

この言葉を使うことは、極限を正しく理解してないことを示すものです。
極限値はほぼ同じになることはありません。極限値が同じになる時、それは厳密に等しくなるのです。
あなたの挙げた例の5+(0.0001)を使って、説明してみます。
lim[n→∞](5+1/10^n)＿①　の極限値と
lim[n→∞](5－1/10^n)＿②　の極限値は一致するでしょうか。
①式の数列で、n=4,5,6･･･のときの項を書いてみると
5.0001，5.00001，5.000001，･･･と似たような数が並び、ほぼ5に等しいが、
これらの数字は極限とは別のものです。(点点々)･･･と続く無限個の数のすべてを飛び越えた先にあるのが極限値の5です。
この例では、5.0001，5.00001，5.000001，･･･の数字の中に5は現れません。現れなくても、その先に考えることができるものが極限です。
式②についても、n=4,5,6･･･のときの項を書いてみると
4.9999，4,99999，4.999999，･･･と続く無限個の数のすべてを飛び越えた先にあるのが極限値の5です。式①の極限値5と②の極限値5は厳密に等しいので、
5=5と同じ意味で等号で結ぶことが出来ます。
lim[n→∞](5+1/10^n)=lim[n→∞](5－1/10^n)
あなたのcosθの微分の例では、ABあわせて４つの式があり、これらは計算すると
すべて一致するので、問題ないが、仮に異なる値になるような場合は、そのうちのどれか一つの値を採用する理由がないので、その時は微分不可能というキマリになっています。
微分不可能な例は、教科書の中にいくらでも出ています。数学の本には、xのすべての点において微分不可能という関数の例も書いてあります。
蛇足、上の例では数列の中に５が現れなかったが、別の例では、５が現れる場合があっても差し支えない。無限個の数のすべてを飛び越えた先にあるのが極限値であるということだけが大切です。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/29 18:52

？？？　何が言いたいのかイマイチ解らない感じだけれども...

Aの上の式を dθ = h で書き換えると、 = lim[h→+0]{ cos(θ+h) - cosθ }/h,
Aの下の式を dθ = -h で書き換えると、 = lim[h→-0]{ cos(θ+h) - cosθ }/h.
このふたつが違うものであることは、教科書の
微分係数の定義のところに説明してあるはずです。読み返してください。

この異なるふたつが一致した場合に、= lim[h→0]{ cos(θ+h) - cosθ }/h が収束して
cos ｘ が x=θ で微分可能であるというのです。
cos x は任意の x で微分可能な関数なので、結果的にふたつの式の値は一致しますけども。

Bについても、全く同様です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/07/29 21:48