【数理モデル】トランポリンの膜のような構造に対して、膜厚と荷重で変位量を導出する考え教えてください

初めまして、大学の卒論の研究に取り組みはじめ、材の変形に関して数理モデルの記述を行いたいと考えている部分があるのですが、材料力学などに疎く四苦八苦しており、お知恵を拝借いただけないかと思いご質問させていただきます。

【導入】
どのような変異を観察しているかといいますと画像のほうに添付させているのですが、
円筒状の土台に柔軟性のあるウレタンでできた膜を被せて固定して、膜に対して押し込み荷重をかけ、特定の膜の厚みの時の荷重ー変位の関係式を知りたいと思っています。大きさは10cm×10cm×10cmに収まります。

【変異の特徴】
１、押し込み変異量が少ないときは１単位分の変位量に必要な荷重も小さい。
２、押し込み量が大きいと膜の張り感が強くなり、復元力、抵抗力が生じて１単位変異させるのに必要な荷重量が大きくなる。
３、膜厚が大きくなるにつれて、押し込みに初めから大きい荷重が必要になり、２のような特徴がみられなくなる。


【数理モデルのアプローチで悩んでいること】
１、時間変化に伴う変化を知りたいことから微分方程式を立てればよいと考えている。
２、膜の変形は力を入れなければ戻ることから弾性変形している。
３、しかし、膜厚が薄いときには2次関数的な関係式になっており非線形の弾性変形の数理モデルの取り組み方が手足が出ない。←←ここで思考が止まってしまいました。


詳しい方からすれば検討違いなことを言っているところも多々あると思い恐縮なのですが是非ともお知恵を貸していただければ大変ありがたいと思います。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2019/08/04 07:10

> 非線形の弾性変形

見当違いならぬ「検討違い」とおっしゃる通り、考えるべき数理モデルは、まずは時間変化なしの静的釣り合いが説明できなくちゃ話にならない。
で、シワができてるじゃん。
荷重を掛けると膜全体が概ね円錐台形になっている。では膜に同心円を描いておいたら、荷重を掛けたとき円はどう変形するか。もちろん、円周の長さが変わらないのに円の半径が小さくなるからこそシワができるんですよね。でももし変形が線形なら、円の半径はむしろ大きくなるでしょう。つまり、荷重が大きいほど変形しにくくなるからシワになる。非線形性がモロに現れているわけです。
　円周に沿って、すなわちシワを横切る方向に見ていくと、へろへろの部分とピンと張っている部分とが大体交互に現れるでしょう。どちらにも同じだけの内部応力が生じている？そんなわけないっしょ。膜の或る部分は頑張って荷重を支えていいるが、他の部分は寄与していない。つまり、「＊何十本かの紐を放射状に張って荷重を支えている」というのに近い状態になっている。膜のどこが紐に相当しどこがシワになるかは必然的に決まるわけじゃなくて「自発的対称性の破れ」によって発生するんで、統計的にしか扱えない。「微分方程式を立て」るだけでは片付かないのは明らか。
　しかし、荷重と変形の関係だけしか興味がないのなら、この大変面白そうな話に敢えて突っ込む必要はない（つまらんやつだな〜）。ならばまずは第0近似として、上記＊（つまり1次元の非線形弾性変形）でモデル化してみてはどうかなぁ。

No.3 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/08/01 08:36

何度もすみません。

伸びをひずみにするのを忘れてました。E を E/R で置き換えてください。

No.2 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/07/31 17:44

No.1 です。

後輩に振ったのですが，きゃつも極座標は苦手なので直角座標で計算したらどうですかと言われました。それならできるので，計算してみました。間違ってるかもしれません。なお膜厚が t です。ゆるんだ膜なので，二本の棒でモデル化してあります。曲げ剛性は無視できると考えました。

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/07/30 08:24

やはり，じっくり材料力学あるいは応用数学を勉強すべきでしょう。

膜や弦の運動は
　　∇^2 u(r,θ,t) = d^2 u(r,θ,t)/d t^2
のような無次元の変微分方程式で表され，静的な問題なら右辺がゼロになります。極座標の場合の固有関数はベッセル関数ですから，この添付の図のたわみが第０次の第１種ベッセル関数によく似ています。ただし，弦や膜はそもそも張力が与えられないと上のような運動方程式にはならないので，とても難しい問題とされます。張力が無いときの形状決定の問題です。また集中荷重の扱いはさらに難しいです。どなたか，機械工学科の先生に教えてもらうのがベストです。僕も専門ではなく，学生のときに習っただけなので，これで失礼します。参考になれば幸いです。