第2可算公理

第2可算公理の意味がよくわかりません。
まず開基の意味が分からず。

どう質問していいのかも分からないような感じです。
どうかお助けください。

パラコンパクトの意味も分からず、それにつなげていきたいとも考えています

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/08/06 16:30

空間が第二可算公理を満たすとは

「その位相が可算な開基を持つ」
ということを言う。
位相空間 T が第二可算公理を満たすとは、
T の可算個の開集合からなる族
Λ={V(n)}_{n∈N=(全自然数)}
が存在して、
Tの任意の開集合G
に対して
Μ⊂Λ
が存在して
G=∪_{V∈Μ}V
となる
ことをいう。

例)
Rを全実数の集合(実数空間)とする
Qを全有理数の集合とする
a<bに対して
(a,b)={x;a<x<b}
とする
Λ={(a,b);Q∋a<b∈Q}とすると
Λはa,b共に有理数だから濃度は可算となる
Rの任意の開集合Gに対して
M={(a,b)∈Λ;(a,b)⊂G}
H=∪_{(a,b)∈Μ}(a,b)
とする
x∈H
とすると
x∈(a,b)∈M
だから
x∈(a,b)⊂G
x∈G
だから
H⊂G

x∈G
とすると
Gは開だから
ある正数ε>0が存在して
「
x-ε<y<x+εとなる任意のy∈Rに対してy∈Gとなる
」
QはRで稠密cl(Q)=Rだから
x-ε<a<x<b<x+ε
となるような有理数a,b∈Qが存在するから
(a,b)⊂G
(a,b)∈Λ
x∈(a,b)∈M
だから
x∈H
だから
G⊂H
↓これとH⊂Gから
∴
G=H=∪_{(a,b)∈Μ}(a,b)
∴
ΛはRの可算開基となるから
Rは第２可算公理を満たす

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
内容をもう少し勉強させていただきたく。

どうかよろしくお願い致します。

取り急ぎ御礼まで

お礼日時：2019/08/06 20:39

No.3 回答者： cage64 回答日時： 2019/08/07 09:51

位相空間における第2可算公理は、距離空間における可分性（稠密な可算集合が存在する）に相当する概念。

パラコンパクトは、（普通はハウスドルフを仮定するので）、１の分解が可能、と思ってよい。

有理数から構成した実数について連続性がいえるように、第2可算公理に相当する概念が有理数で、1の分解が一種の実数の連続性と思えば気分が楽になるでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
1の分割はパラコンパクトが理解できないので、
今勉強途中なところです。

ありがとうございます。
勉強してみます

お礼日時：2019/08/08 03:53

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2019/08/07 09:11

開基って要するに位相の生成系です。

第2可算公理を満たす位相は可算個の開集合で特徴付けられます。
第1可算公理との関係でいえば第1可算公理は点ごとの性質ですが、第2可算公理は位相空間全体の性質です。
例えば任意の離散空間は各点が1点集合からなる近傍碁を持つので第1可算公理ですが、第2可算公理なのは可算集合であるときだけです。

この回答へのお礼

No1の方の回答と合わせて、イメージがついてきました。
ありがとうございます。

お礼日時：2019/08/08 03:54