解析学の次の問題が解けません。 1 N∋m≧1とする。A⊂Nが、１)mはAの最小数、2)n∈A、n≧

解析学の次の問題が解けません。

1　N∋m≧1とする。A⊂Nが、１)mはAの最小数、2)n∈A、n≧m⇒n＋1∈A を満たすとき、A={n∈N｜n≧m}であることを証明せよ。
2 m, nが自然数の時、m＋n、mn、m-n
(m≧n)は自然数であることを証明せよ。
3 nが自然数ならば、n<k< n＋1となる自然数kは存在しないことを証明せよ。

以上の3つが解けませんでした。解説をお願いします。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。問題に関連する部分を載せておきます。

  
    補足日時：2019/08/09 14:48

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/09 01:00

たぶん、ペアノ系の話だと思う。

ペアノによる自然数の定義の他に、その上で定義された
足し算、掛け算、引き算、大小比較の定義も書かないといけない。
それらを書き出してしまえば、あとはほとんど自明になっている。
1 は、B = { n-m | n∈A } が数学的帰納法の公理から B = N になることを言えばいいし、
3 は、後者写像の一意性から自明。
2 の m+n, mn は演算の定義から自明。
　　ｍ-ｎ だけは、m≧n の定義と絡めて真面目に証明する必要があるかな。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。お願いがあるのですが、解答の一例だけでも載せて頂けませんか？

お礼日時：2019/08/09 21:31

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/08/09 00:21

少なくとも

自然数の定義
を書いてくれないことにはなんにもできないんだけど....