直角三角形の垂線の長さ

直角三角形ABC（角A＝90度）において、角Aから辺BCに垂線をおろし、その交点をHとするとき、
AH・AH＝BH・HCであることの腹落ちする説明はありませんでしょうか？

当方、垂線の長さを求める問題で、三平方の定理を使って導き、
この公式にたどり着きました。
この公式にたどり着いた後、相似を使って導けることにも気が付きましたが、
忘れちゃいそうです。

何か、別の、説明はありませんでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 面積を使った別証などありませんでしょうか？

    補足日時：2019/08/29 16:32

No.4 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/29 16:53

面積を使っても、AC・AB＝AH・BCとなって

やはり三平方の定理が必要です。

No.3 回答者： EZWAY 回答日時： 2019/08/29 16:52

面積を使うということは、方向性として、

AB・AC = AH(HC + HB)
からスタートして、AB、ACをAH、HB、HCを使って表した上で、その式を整理するしかないと思います。
そうすると、AB、ACをAH、HB、HCを使って表すためには、三平方の定理を使うことになるでしょうし、そうなれば、非常に複雑な式になることは明らかですよね。たとえば、AB =√(AH^2 + HB^2) になったりするわけですからね。
まあ、それでもゴール（AH・AH＝BH・HC）が見えているなら力づくでも解けるのかもしれませんけど、やる気になりませんね。

そもそも、質問の意図がよくわかりません。
すっきりとその式が求められる方法を知りたいのかと思ったのですが、コメントからするとそうではなさそうです。
あなたがあげた以外の第３の解き方を知りたいということでしょうか？

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。

お礼日時：2019/08/30 00:52

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/29 16:03

tan∠B=AH/BH・・・①

tan∠CAH=CH/AH・・・②
tan∠B＝tan∠CAHから
AH/BH=CH/AH
ゆえに、AH・AH＝BH・HC

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/08/29 16:30

No.1 回答者： EZWAY 回答日時： 2019/08/29 15:32

忘れちゃいそうですとか、腹落ちする　という意図がよくわかりませんが、

簡単な説明であれば、相似であることを自明とするなら、
　AH/HC=BH/AH
はあきらかなので、そうなりますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
相似を使った証明は自分で出来ています。
別証はありませんでしょうか？

お礼日時：2019/08/29 16:29