線形代数学の問題です。 順列σ=(n·····3 2 1)の符号sgn(σ)を求めよ。 という問題が

線形代数学の問題です。
順列σ=(n·····3 2 1)の符号sgn(σ)を求めよ。
という問題がわかりません。
どのように解くのか教えて頂けたら嬉しいです。

No.5 回答者： 確変 回答日時： 2019/09/24 20:00

置換を利用して行列式を綺麗に定義できるのに, 工学系学生向けの参考書では, 置換ではなく, わざわざ順列を利用する.

その理由は, おそらく, 集合, 写像, 全単射などを説明するのが面倒だからだろう.
分かりやすさを最優先しているのだから, 順列と一緒に, その転倒数も定義しないと意味が無いと思われる.
質問者が転倒数の定義を知っているなら, 順列 σ の転倒数が n(n - 1)/2 であることは, 容易に理解できるだろう.
ある順列の転倒数が μ であるとき, その順列の符号を (-1)^μ により定義する.

数学専攻の学生にとっては, 順列は表記が巡回置換と紛らわしく, かえって鬱陶しい.
一段目に基本順列, すなわち
1 2 3 ... n-2 n-1 n
を書き, 二段目に順列 σ, すなわち
n n-1 n-2 ... 3 2 1
を書くというように, 置換を二段構成で表記するなら, その置換は順列 σ に対応する.
この表記は, 巡回置換でない置換を一組の括弧で表すのには便利だが, 非常に見苦しいという欠点がある.

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2019/09/23 18:58

(n·····3 2 1)の場合

一番端のｎと1、二番目のn-1と2、三番目のn-3と3という具合に
互換をくりかえせば［n/2］回の互換で(123･･･n)にもどる。
([　]はガウス記号)。
なのでsgn(σ)＝(-1)^［n/2］だけど
［n/2］の偶奇と (n-1)n/2 の偶奇はおなじだから
No.2さんと結果は同じ。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/23 01:49

突っ込もうかどうか悩んだんだけど, たぶんすぐ気付くだろうからあえて突っ込むのも無粋な気がしたんでやめました＞#2.

n≧3 のとき (n-1)! は偶数だから (-1)^((n-1)!) = 1
はわりと簡単だと思うし.

あえていうなら
質問者に突っ込んでほしかった
くらい?

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/23 01:24

あ、しまった。

sgn(σ[n+1]) = (-1)^n sgn(σ[n]) と
sgn(σ[1]) = (-1)^0 を合わせると、
sgn(σ[n]) = (-1)^((n-1)!) ではなく
sgn(σ[n]) = (-1)^{ 0 + 1 + 2 + … (n-1) } = (-1)^{ (n-1)n/2 }.

なぜ誰もツッコまないかな。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/22 16:05

sgn(σ) は、σ を互換の積で表したときの互換の個数 n に対して (-1)^n です。

置換を互換の積で表すやり方は複数ありますが、
その互換の個数は σ ごとに一定であることが知られています。
そこに疑問があるようなら、教科書を読みなおしてください。

その際、置換が互換の積で表せることの証明を載せたページも
見つけておくとよいと思います。多くの教科書では、与えられた置換を
具体的に互換の積で表す手順を示すことで証明しています。
その手順を問題の σ にあてはめて、互換の積を構成してしまえば
sgn(σ) を計算することができます。

ここでは、簡便法として、n に関する漸化式を使ってみましょう。
σ[n] = (n … 3 2 1) と置きます。
σ[n+1] = (n+1 n n-1 … 3 2 1) = (n+1 n)(n n+1 n-1 … 3 2 1)
= (n+1 n)(n+1 n-1)(n n-1 n+1 … 3 2 1)
= …
= (n+1 n)(n+1 n-1)(n+1 n-2)…(n+1 1)(n n-1 … 3 2 1 n+1).
置換 (n n-1 … 3 2 1 n+1) は、(n n-1 … 3 2 1) = σ[n] と同じものです。

sgn は乗法的すなわち sgn(στ) = sgn(σ) sign(τ) ですから、
sgn(σ[n+1]) = sgn(n+1 n) sgn(n+1 n-1) sgn(n+1 n-2)…sgn (n+1 1) sgn(σ[n]).
互換 (n+1 k) についてはもちろん sgn( (n+1 k) ) = (-1)^1 なので、
結局 sgn(σ[n+1]) = (-1)^n sgn(σ[n]).
これと sgn(σ[1]) = (-1)^0 （解りにくいければ、sgn(σ[2]） = (-1)^1 でもok）
を合わせると、sgn(σ[n]) = (-1)^((n-1)!) であることが判ります。