高校数学 画像の問題で、2枚目の赤の直線（2本)がそれぞれ赤四角の関係を満たすことをしめせば、他の直

高校数学
画像の問題で、2枚目の赤の直線（2本)がそれぞれ赤四角の関係を満たすことをしめせば、他の直線も最初の図の交点は通り得ないという論法で示しましたが駄目でしょうか？

質問者からの補足コメント

• 画像の6番が聞きたい問題です
  また、図です

  
    補足日時：2019/09/30 00:04

• 図と交点を通る2直線の式です

  
    補足日時：2019/09/30 00:05

• 最終的な方針（赤四角)です

  
    補足日時：2019/09/30 00:06

• 赤四角の２式が示せれば、ほかの直線(ただし、黒で書かれた２直線とｘ軸、ｙ軸で交わらない）ものはx/□＋y/〇の（□,〇）について、□は2^(a+1）より大、〇は２＾（ｄ＋１）より大という組み合わせ、もしくは□は２＾（a-1),〇は2^(d-1)より小という組み合わせしかないと思いました（図形的にも）

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/10/01 18:09

• いえ、大学数学（学部まで）も用いた解答も欲しかったのですが、あまり質問者がいろいろと要求すると回答が付かないと思い避けていました。
  質問者は高校生ではないので、線形代数も（少しｗ）しっています。行列のrankを考える本格的な方法も試してみます。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/10/01 18:13

• 回答してくださってありがとうございます

    補足日時：2019/10/01 18:15

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/30 00:25

その 2枚目の画像の直線だけを考えればいいのはなぜ?

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/01 14:30

入試過去問かあ...　想定正解が思いつかないなあ。

普通は、
3行2列の行列 A =
　　　　1/2^a　　　　1/2^p
　　　　1/2^b　　　　1/2^q
　　　　1/2^c　　　　1/2^r
3行3列の行列 B =
　　　　1/2^a　　　　1/2^p　　　　1
　　　　1/2^b　　　　1/2^q　　　　1
　　　　1/2^c　　　　1/2^r　　　　1
と置いて
rank A = rank B = 2 にはならないこと
を計算で示すんじゃないかと思うが、
これだと、高校生が書く答案にはならないからなあ。

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2019/10/04 17:40

高校数学の範囲で愚直にやれ、ってことでしょう。

となれば、背理法でしょうね。
(x,y)=(2^a,0)と(x,y)=(0,2^p)を結ぶ線分
　　y = 2^p - (2^(p-a))x
(x,y)=(2^b,0)と(x,y)=(0,2^q)を結ぶ線分
　　y = 2^q - (2^(q-b))x
(x,y)=(2^c,0)と(x,y)=(0,2^r)を結ぶ線分
　　y = 2^r - (2^(r-c))x
の三つが点(s,t)で交差すると仮定します。ただし 0＜s＜2^a、0＜a＜b＜c、a,b,c,p,q,r∈正の整数
すると、
　　p＞q＞r
であることは明らか。最初の二つの線分の方程式から、
　　s = (2^p - 2^q)/(2^(p-a) - 2^(q-b))
　　t = (2^(p+q-a) - 2^(p+q-b))/(2^(p-a) - 2^(q-b))
と決まり、したがって3本目の線分の方程式に(x,y)=(s,t)を代入すると
　　 2^(p+q-a) + 2^(q+r-b) + 2^(p+r-c) = 2^(p+r-a) + 2^(p+q-b) + 2^(q+r-c)
両辺を2^(a+b+c)倍すると
　　 2^(p+q+b+c) + 2^(q+r+a+c) + 2^(p+r+a+b) = 2^(p+r+b+c) + 2^(p+q+a+c) + 2^(q+r+a+b)
明らかに、どの項も正の整数。ここで、
　　 (2^(p+r+b+c))(2^(q-r) - 1) + (2^(q+r+a+b))(2^(p-q) - 1) = (2^(q+r+a+c))(2^(p-r) - 1)
と括ると、q-r＞0, p-q＞0, p-r＞0 なので、(2^(q-r) - 1), (2^(p-q) - 1), (2^(p-r) - 1) はどれも正の整数である。

　これら3つの項をそれぞれ2進数で表示すると
　　左辺第1項 = (2^(p+r+b+c))(2^(q-r) -1) = 11…1(“1”がq-r個) 00…0(“0”がp+r+b+c個）
　　左辺第2項 = (2^(q+r+a+b))(2^(p-q) - 1)= 11…1(“1”がp-q個) 00…0(“0”がq+r+a+b個）
　　右辺 = (2^(q+r+a+c))(2^(p-r) - 1) = 11…1(“1”がp-r個) 00…0(“0”がq+r+a+c個）
という格好をしている。また、左辺第1項の”0”の個数(p+r+b+c) ＞ 左辺第2項の”0”の個数(q+r+a+b)である。
ということは、右辺の2進数表記が上記の格好になるためには
　　左辺第1項の”0”の個数　= 左辺第2項の”0”の個数 + 左辺第2項の”1”の個数
　　右辺の”1”の個数 = 左辺第1項の”1”の個数 + 左辺第2項の”1”の個数
　　右辺の”0”の個数 = 左辺第2項の”0”の個数
でなくちゃいけない。3本目の式から
　　q+r+a+c = q+r+a+b
すなわち
　　b = c
となって、これは仮定 0＜a＜b＜c に反している。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/10/04 21:33