数学についてです。 写真の不定積分の導出過程を教えてください。

数学についてです。
写真の不定積分の導出過程を教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/08 19:57

被積分関数の一部に √(x^2 + a^2) を見たら、x = a tanθ はとりあえず試みるかなあ。

√(a^2 - x^2) を見たら x = a sinθ,
√(x^2 - a^2) を見たら x = a/cosθ と並んで、一応の基本だと思う。

ちょっとトリッキーな置換としては、
√(x^2 + a^2) に対して x = |a| (e^θ - e^-θ)/2 なんてのもあるかな。

(x^2 + a^2) = { |a| (e^θ - e^-θ)/2 }^2 + a^2 = (a^2){ (e^(2θ) - 2 + e^(-2θ) } + 4 }/4
= (a^2){ (e^θ + e^-θ)/2 }^2 となるので、
√(x^2 + a^2) = |a| (e^θ + e^-θ)/2.

また、x = |a| (e^θ - e^-θ)/2 より
dx/dθ = |a| (e^θ + e^-θ)/2 であり、
(e^θ)^2 - (2x/|a|)(e^θ) - 1 = 0 と変形して二次方程式を解くと
e^θ = (x/|a|) + √( (x/|a|)^2 + 1 ) > 0.

これらを使って、
∫{1/√(x^2+a^2)}dx = ∫{ 2/( |a| (e^θ + e^-θ) ) }{ |a| (e^θ + e^-θ)/2 }dθ
= ∫dθ
= θ + (定数)
= log( (x/|a|) + √( (x/|a|)^2 + 1 ) ) + (定数)
= log( x + √( x^2+a^2) ) } - log|a| + (定数)
= log( x + √( x^2+a^2) ) + (別の定数).

(e^θ - e^-θ)/2 = sinhθ,
(e^θ + e^-θ)/2 = coshθ という名前があり、
sinh, cosh に関する公式など使うと
更に小粋というか奇を衒ったというかな回答になる。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/10/09 21:20

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/10/08 07:01

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/difOfSqrtx2+a2/
をご覧下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/10/09 21:20

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/10/08 06:50

右辺を微分すると左辺に帰着する...

なんてダメかな?

極めてトリッキーな方法ですが、
x=|a|tanθ (-π/2<θ<π/2)
とおいてみます。このとき
cosθ>0
となることがミソです。
x=|a|tanθ
dx=|a|sec²θdθ
∫dx/√(x²+a²)
=∫|a|sec²θdθ/√a²(tan²θ+1)
=∫secθdθ
ここで
t=secθ+tanθ
とおくと
dt/dθ=secθtanθ+sec²θ
=secθ(secθ+tanθ)
=t secθ
secθdθ=dt/t
∫secθdθ=∫dt/t
=log|t|+C₁
=log|secθ+tanθ|+C₁
=log|(|a|tanθ+|a|secθ)|/|a|+C₁
=log|x+√a²sec²θ|-|a|+C₁
=log|x+√a²(tan²θ+1)|+C₁-|a|
=log|x+√(x²+a²)|+C (C=C₁-|a|)
x<0 のときでも |x|≦√(x²+a²) なので
x+√(x²+a)≧0
よって
∫dx/√(x²+a²)=log{x+√(x²+a²)}+C

secθ=1/cosθ
の微積分に関しては各所に掲載されたサイトもあるので参考にしてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/10/09 21:21