数学についてです。 写真の級数の収束するxの範囲と発散するxの範囲を教えてください。

数学についてです。
写真の級数の収束するxの範囲と発散するxの範囲を教えてください。

質問者からの補足コメント

• (3)のx=π/2などcosx=0となるxを除くすべてのxの時の収束する値も教えていただけますか？

    補足日時：2019/10/22 15:17

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2019/10/22 11:51

（2）は公比1/1+xの無限等比級数だから

|1/1+x|＜1の時収束、|1/1+x|≧1のとき発散という判断、
ただしx≠-1

（3）は公比1/1∔cos²xの無限等比級数だから
等比級数の収束条件より
すべてのｘについて収束。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/10/22 18:18

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/10/22 11:56

(2)初項1/(1+x)≠０の無限等比級数であるから、公比1/(1+x)で収束発散を判断

・|1/(x+1)|<1
すなわち、
-1<1/(x+1)<1なら収束
逆数を取って（または分数関数y=1/xをx軸方向に-1だけ平行移動したものであるy=1/(x+1)の値域が-1<y<1となるｘの範囲を考慮して）
(x+1)<-1または(x+1)>1
∴x<-2,0<x　は収束
・|1/(x+1)|≧1なら発散
1/(x+1)≦-1または1≦1/(x+1)
⇔-2≦x<-1,-1<x≦0(x=-1は定義されない）　は発散

(3)
・初項cos²x/(1+cos²x)=０
⇔cosx=0となるようなxなら収束して和は０

・cos²x/(1+cos²x)≠０すなわちcosx≠０の場合
公比、1/(1+cos²x)について
※|1/(1+cos²x)|<1なら収束
1＜(1+cos²x)
0<cos²x
この不等式から得られるxの範囲はx=π/2などcosx=0となるxを除くすべてのx

※|1/(1+cos²x)|≧１ならば発散
1≧1+cos²x
0≧cos²x
⇔cosx=0・・・cosx≠０の場合を考えているから不適

以上から全てのxで収束

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/10/22 15:30

cosx=0になるようなｘ　つまりx=π/2+kπ(kは整数）については冒頭で初項０のケースとして考えてあります→0に収束

cosx≠０になるようなｘ　つまりx=π/2+kπ以外のｘについては部分和から極限値を求めるべきかもしれませんが面倒なので、ご自分で試みてください
無限等比級数の和の公式利用なら
和（収束値）＝a1/(1-r)
={cos²x/(1+cos²x)}÷[1-{1/((1+cos²x)]
={cos²x/(1+cos²x)}÷{cos²x/(1+cos²x)}
=1

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/10/22 18:18

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2019/10/22 15:58

（3）の和はcos²x≠0のとき、1　です。