メタ数学・超数学ってなんですか？

最近、海外のＳＦ小説をよく読むのですが、その中に「メタ数学」「超数学」などと言う言葉をよく見ます。

(1)これって何の事なんでしょうか？
　普通の数学とは違う、実際にある学問なんですか？
(2)これがわかる事で生活や学問にどんな変化が出てくるのでしょうか？

公理だの定理だのいう言葉もよく出てきて何がなんだかチンプンカンプンです。
読解力の低さも手伝って、話の内容が全然理解できず困っています。
すごくあやふやな質問で恐縮なのですが、ご存知の方がいらっしゃったらわかりやすく教えていただけないでしょうか。
あと、ここらへんを調べるのに参考になる本なども教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

No.5 回答者： 1123usamimi 回答日時： 2013/07/01 17:01

ほじめまして、メタ数学に詳しいわけではありませんが、おすすめの本があるので紹介させて頂きます。

結城浩　「数学ガール　ゲーデルの不完全性定理」

http://www.hyuki.com/girl/

　この一冊で、ゲーデルの不完全性定理を理解するのは難しいでしょうが、数学を数学する（つまりメタ数学とは何か）がなんとなくわかるでしょう。きっと、その物語にもついて行けるはずです。

　この本は高校生の私でも大学で習う数学を理解することができるほど、丁寧な解説がなされています。ゲーデルの不完全性定理のくだりが難解すぎるせいで、アマゾンのレビューはいまひとつですがね、、。

No.4 回答者： pyon1956 回答日時： 2004/12/22 07:40

ちなみに。

ルーディー・ラッカーのＳＦなんかいかがですか？
SFとこの分野の数学両方の専門家が書いたものだけに、結構イケるものがありますが。
http://www.ltokyo.com/ohmori/rucker/
またゲーデルそのものについてはたとえば
http://www.shayashi.jp/history/
あたりがわかりやすいと思います。

参考URL：http://www.ltokyo.com/ohmori/rucker/

No.3 回答者： dollar 回答日時： 2004/12/21 17:56

例えていいますと・・・

物理で、１メートルの定義ってありますよね。
１メートルを何によって定義するべきか。昔は「地球一周を４万キロメートルとして・・・」とかいろいろな定義が考えられてたらしいですが、現在では「光が１秒間に進む距離を３０万キロ（正しくはもうちょっと違う数値だったと思いますが）として１メートルを定義する」というふうにしてるそうです。
しかしこれを聞くと「じゃあ１秒間の定義は何なんだ」ってことになりますよね。ここで「１秒間の定義は光が３０万キロ進むのに要する時間」なんて言ってしまうと堂々巡り（循環論法）になってしまいます。
従って物事の定義の決め方には注意が必要です。こういう定義の仕方について決める学問がメタ物理（本当はそんな言葉ないですが）です。

数学でも似たような状況があります。
a+b=b+a
を証明しろって言われても、「何を前提として証明したらいいか」わからないでしょう。「そもそも足し算とは何か」をまず定義しなくちゃいけません。
「その足し算とは何か」を定義する際に、「足し算とは、ある一定の規則を持つ演算規則であり・・・」などと定義していくときに、「交換則」を前提として作ってしまえば、「a+b=b+aは定義だから証明の必要なし」ということになります。
しかし「足し算とは何か」を定義する際に「交換則を定義の中に組み込んでしまう」べきか、はたまた「足し算について別の定義をしておいて、交換則を証明する」ようにすればいいのか。
これまた議論が必要です。
こういった議論をするのがメタ数学です。

持っている本にこんな例えが載っていました。
野球で「両チームともバッターが下手くそだから、３アウトチェンジをやめて、６アウトチェンジにしよう、という議論になったとする。これがメタ野球である」
面白い例えだと思うのですが、いかがでしょう。

No.2 回答者： mide 回答日時： 2004/12/21 15:49

すでに回答が出ているとおり、メタ数学というのは数学自体を対象とする数学です。

一般に学問Ｘに対しメタＸというのはその学問自体を対象とする学問ですね。しかしSFでメタ数学が出てくるとは知りませんでした。

さてお勧め、というか印象に強く残っている本なのですが、Kleene の "Introduction to Metamathematics" です。大学院（情報科学）で読まされましたが、なにが introductionなんだというくらい、死ぬほど難しかった（笑）です。

メタ数学が分かっても実生活にはほとんど影響しないと思いますが、普段当たり前として見過ごしている、数学とか論理とか思考の非常に根本的な部分を改めて見直すことができるのと、ではその主体が人間でなくコンピュータとか人工物だったらどうなのか、ということでSFとかかわりがあるのかな、とちらっと思いました。

参考URL：http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0720421 …

この回答へのお礼

数学の根本を突き詰め、見つめ直す・・・っていう学問だったんですね。
「数学のルール」に対してミジンも疑問を感じた事のなかった自分には目から鱗の心境です。
すごい事を考える人がいるもんですね。
数学の物の考え方が、論理や思考と言った部分にまで展開していく事にはすごくドキドキします。
ちなみに読んでいた本はグレッグ・イーガンと言う人の「しあわせの理由」（早川書房）という本です。
教えていただいたＵＲＬや本の方、さっそく参考にさせて頂きます。
ありがとうございます。

お礼日時：2004/12/21 19:06

No.1 回答者： gudou 回答日時： 2004/12/21 09:58

数学は苦手なド素人なのですが・・・

http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~schmidt/Nyumon/20 …
ナーゲル・ニューマン『ゲーデルは何を証明したか』林　一訳，白揚社，１９９９年
第３章　数学から超数学へ
>【数学と超数学（メタ数学）】
>数学（意味のない記号の体系）と超数学（数学，計算に現れる記号と，その配列と関係についての意味のある言明）との区別
>
>ex　　２＋３＝５　　　　　　　　　→数学
>
>‘２＋３＝５’は算術の式である．→超数学


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%BC% …
>数学自体を対象としてある数学を展開することは超数学（メタ数学）と呼ばれる。

ということらしいです。

参考URL：http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~schmidt/Nyumon/20 …

この回答への補足

さっそくのご回答ありがとうございます。
超数学ってホントにある学問だったんですね。。。^^;
って事は
数学　＝数値のやり取り
超数学＝数学をやる上での作法
みたいなモノなんでしょうか？
提示していただいたURL、本など、さっそく参考にさせて頂きます。
ありがとうございました。

補足日時：2004/12/21 10:59

この回答へのお礼

すみません。＞＜；
補足にお礼を書いてしまいました！
申し訳ありませんでした！^^;

お礼日時：2004/12/21 14:29