複素積分の質問です。この写真の第一式から第二式の出し方教えて欲しいです。 ただしεは微少量です。

複素積分の質問です。この写真の第一式から第二式の出し方教えて欲しいです。
ただしεは微少量です。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/11/15 17:46

いつものお約束の方法。

q:実軸上の-R→Rとq:|q|=Rの半円上をR→-Rの閉じた経路で積分する。
ただし、分子の1項目では上半円を通り、2項目では下半面を通る経路で積分する。(そうしないと半円上での積分が0に収束することが明確に示せない)

こうすれば1項目での積分はq=±k+iε'の2点の極での留数の和の2πi倍であることがわかるし、2項目の積分はq=±k-iε'の2点の極での留数の和の-2πi倍であることがわかる。
(2項目の積分の経路は時計回りであることに注意) (Re(ε')>0とする)

二つの積分ともに半円上での積分は0に収束することが簡単に示せるので求める積分の結果が得らえます。