力学です。問題文は以下の通りです。 原点から水平線に対して角度θ、初速度v0で質量mのボールを投げ上

力学です。問題文は以下の通りです。

原点から水平線に対して角度θ、初速度v0で質量mのボールを投げ上げて放物運動させる。この時、粘性抵抗が働き、粘性抵抗力f＝ηvとして水平方向、垂直方向の運動方程式を示し、これを解いて、任意時刻についての速度と位置を求めよ。また、それぞれについて時間に対する変化をグラフで表し運動の様子を説明せよ。

微分方程式を使わないと解けないと思うのですがどうでしょうか。問題に全て答えて下さると大変助かります！

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/12/15 17:07

＞微分方程式を使わないと解けないと思うのですがどうでしょうか。

はい。
力と加速度で運動方程式を立てますが、粘性抵抗力は「速度」つまり「加速度の積分あるいは変位の微分」に比例していますから、微分方程式を使わないと運動方程式そのものが立てられませんから。

物体に働く力は、鉛直下向きに「一定の重力」、運動方向と逆向きに「粘性抵抗力」が働きますから、ベクトルを使って運動方程式を立てれば
　m(→a) = m(→g) - η(→v)

これを「鉛直方向」と「水平方向」に分ければ、水平方向を x（初速度方向を正）、鉛直方向を y（上向きを正）として
　ｍ*d²x/dt² = - η*(dx/dt)　　　　①
　ｍ*d²y/dt² = -mg - η*(dy/dt)　　②
なので、これを解けばよいです。

①は、dx/dt = vx とおけば
　d(vx)/dt = - (η/m)(vx)
なので、これを解けば
　vx(t) = C1 * e^[-(η/m)t]
初期条件が t=0 のとき vx(0) = v0*cosθ なので
　C1 = v0*cosθ
よって
　vx(t) = v0*cosθ * e^[-(η/m)t]　　　③

水平方向の変位はこれを積分して
　x(t) = -(m/η)v0*cosθ * e^[-(η/m)t] + C2
初期条件を t=0 のとき x(0) = 0 として
　C2 = (m/η)v0*cosθ
よって
　x(t) = (m/η)v0*cosθ*{1 - e^[-(η/m)t]}


②も同様にdy/dt = vy とおけば
　d(vy)/dt = -g - (η/m)*(vy)
なので、これを解けば
　vy(t) =-(mg/η) - (C3*m/η)e^[-(η/m)t]
初期条件が t=0 のとき vy(0) = v0*sinθ なので
　C3 = -g - (η/m)*v0*cosθ
よって
　vy(t) = -(mg/η) + [ (mg/η) + v0*sinθ ]* e^[-(η/m)t]

鉛直方向の変位はこれを積分して
　y(t) = -(mg/η)t - [(m/η)² g + (m/η)v0*sinθ] * e^[-(η/m)t] + C4
初期条件を t=0 のとき y(0) = 0 として
　C4 = (m/η)² g + (m/η)v0*sinθ
よって
　y(t) = -(mg/η)t - [(m/η)² g + (m/η)v0*sinθ] * {1 - e^[-(η/m)t]}


計算間違いしていないかな？

この回答へのお礼

微分方程式の解き方は習っていないのでわからないのですがそれ以降の計算は間違ってるところないと思います！微分方程式の解き方については自分でやってみます！ 申し訳ないのですがグラフと運動の様子はどうなりますか？

お礼日時：2019/12/15 21:29

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/12/15 22:54

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞微分方程式の解き方については自分でやってみます！

はい。

＞①は、dx/dt = vx とおけば
＞　d(vx)/dt = - (η/m)(vx)
＞なので、これを解けば

のところは「変数分離」というやり方です。
　d(vx)/dt = - (η/m)(vx)
から
　∫(1/vx)d(vx) = - (η/m)∫dt
→　log|vx| = -(η/m)t + C　(C：積分定数）
→　vx = e^[-(η/m)t + C] = C1*e^[-(η/m)t]　　(C1 = e^C）
ということです。

＞申し訳ないのですがグラフと運動の様子はどうなりますか？

グラフは、t の値をいくつか代入して、自分で書いてみてください。

t=0 のとき、t→∞ のときと、その間のたとえば
　t = 1/(η/m)
のときなどを調べればおおむね推測できると思います。

「運動の様子」は、η = 0 のときには「空気抵抗がない」場合で、高校物理でよく出てくる「等加速度運動」です。
η ≠ 0 のときには、η が大きくなるにつれ、e^[-(η/m)t] の減衰が速く、最終整定値が小さくなります。

vx は、t→∞ で 0 になります。
x は、t→∞ で (m/η)v0*cosθ になり、これより先には進みません。

vy は、t→∞ で -(mg/η) になります。つまり「終速度」が一定になります。
スカイダイビングで、一定距離落下すると落下速度が一定になるのと同じです。これ以上には速くなりません。

y は、t→∞ でほぼ -(mg/η)t になり、「終速度」一定で時間に比例した変位で落下していきます。


↓　ネット上にはいろいろな解説サイトがありますから、「空気抵抗のある自由落下」のようなキーワードで検索してみてください。式やグラフが載っているものもあります。
http://hooktail.sub.jp/mechanics/resistdown/
http://hooktail.sub.jp/mechanics/fallInAirResist …
https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/houteisi …

この回答へのお礼

微分方程式の説明までありがとうございました！サイトと拝見するとともに考えさせて頂きます！

お礼日時：2019/12/15 23:36