A 回答 (10件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.2
- 回答日時:
赤線のグラフの式が与えられていないが、
「フーリエ級数(59次高周波まで)」という説明から
黒線のグラフをフーリエ級数近似したものと思われる。
黒線の関数は、おそらく
0 < x < T/2 のとき f(x) = E,
T/2 < x < T のとき f(x) = -E というもの。
f(0), f(T/2), f(T) の値が判らないが、
フーリエ級数展開する上では特に障害とならない。
この f(x) の 59次フーリエ級数近似 F(x) は、
F(x) = a_0 + Σ[n=1...59]{ (a_n)(cos nx) + (b_n)(sin nx) },
a_n = (2/T)∫[0,T]f(x)(cos n(2π/T)x)dx,
b_n = (2/T)∫[0,T]f(x)(sin n(2π/T)x)dx.
係数 a_n, b_n を計算すると、
a_n = (2/T){ ∫[0,T/2]f(x)(cos n(2π/T)x)dx + ∫[T/2,T]f(x)(cos n(2π/T)x)dx }
= (2/T){ ∫[0,T/2]E(cos n(2π/T)x)dx + ∫[T/2,T](-E)(cos n(2π/T)x)dx }
= (2E/T){ ∫[0,T/2](cos n(2π/T)x)dx - ∫[T/2,T](cos n(2π/T)x)dx }
= (2E/T){ ∫[0,T/2](cos n(2π/T)x)dx - ∫[0,T/2](cos n(2π/T)(y + T/2))dy } ; x = y + T/2
= (2E/T){ ∫[0,T/2](cos n(2π/T)x)dx - ∫[0,T/2](cos n(2π/T)y + nπ)dy }
= (2E/T){ ∫[0,T/2](cos n(2π/T)x)dx - ((-1)^n)∫[0,T/2](cos n(2π/T)y)dy }
= (2E/T){ 1 - (-1)^n }∫[0,T/2](cos n(2π/T)x)dx
= (2E/T){ 1 - (-1)^n }(T/(2πn)){ (sin n(2π/T)T/2) - (sin n(2π/T)0) }
= (E/(πn)){ 1 - (-1)^n }{ (sin nπ) - 0 }
= 0,
同様に、
b_n = (2E/T){ 1 - (-1)^n }∫[0,T/2](sin n(2π/T)x)dx
= (2E/T){ 1 - (-1)^n }(T/(2πn)){ (-cos n(2π/T)T/2) - (-cos n(2π/T)0) }
= (E/(πn)){ 1 - (-1)^n }{ (-cos nπ) - (-1) }
= (E/(πn)){ 1 - (-1)^n }{ -(-1)^n + 1 }
= (E/(πn)){ 1 - (-1)^n }^2
= ...
n が偶数のとき、... = 0,
n が奇数のとき、... = 4E/(πn).
まとめると、
F(x) = (4E/π)Σ[n=1...59の中の奇数](1/n)(sin nx).
これでやっと、赤線の関数の式が得られた。
ここから先が本題。F(x) をテイラー展開する。
No.3
- 回答日時:
sin の(x=0を中心とした)テイラー展開
sin x = Σ[k=0→∞の中の奇数]{ ((-1)^((k-1)/2)) / (k!) } x^k より、
sin nx = Σ[k=0→∞の中の奇数]{ ((-1)^((k-1)/2)) / (k!) }(n^k) x^k.
これを No.2 の式
F(x) = (4E/π)Σ[n=1...59の中の奇数](1/n)(sin nx) へ代入すると、
F(x) = (4E/π)Σ[n=1...59の中の奇数](1/n)Σ[k=0→∞の中の奇数]{ ((-1)^((k-1)/2)) / (k!) }(n^k) x^k
= Σ[k=0→∞の中の奇数](4E/π){ ((-1)^((k-1)/2)) / (k!) }Σ[n=1...59の中の奇数](n^(k-1)) x^k.
となる。これが、赤線の関数の(x=0を中心とした)テイラー展開である。
k次項の係数 (4E/π){ ((-1)^((k-1)/2)) / (k!) }Σ[n=1...59の中の奇数](n^(k-1))
に含まれる Σ[n=1...59の中の奇数](n^(k-1)) は、
個々の k に対しては Σn^(k-1) を n の多項式で書けることから
計算することができるが、これを k に対する一般式で表すのは困難だろう。
No.1 にも書いたが、黒線の関数をテイラー展開することはできない。
テイラー展開で書かれた関数は、収束円の内部で何回でも微分可能だが、
黒線の関数は、連続ですらないからである。
なるほど、まずはフーリエ級数を作ってからテイラー展開の式を代入するのですね。
あとはn=1...59より、
例えばn=30としたら30次項までの係数を求めた変数の近似式となるのでしょうか?
また、その式が赤線の関数を表すならば、F(x)は高さ、すなわちyのように働くのでしょうか?
No.4
- 回答日時:
>画像のグラフはテーラー展開なしでもフーリエ級数展開を使えば近似式が導けると思うのですが、
>その場合はどうやってフーリエ級数展開を使うのでしょうか?
それを No.2 に書いた。
No.5
- 回答日時:
サイン波のテイラー展開はよく知られてるけどその重ねあわせになるだけ。
手書だと恐ろしくめんどうなので書く気にならんけど
プログラム組めば係数を算出するのは容易い。
ただし方形波の完全な近似は不可能。やってみればわかるけど
どうやっても角のヒゲはとれない。微分不能な点がある関数を
フ一リ工やテイラーで完全に近似するのは不可能。
またテーラー展開は打ち切り誤差が時間とともに増大するので
長期間に渡る波形生成には向いて無い。
No.6
- 回答日時:
>なるほど、まずはフーリエ級数を作ってからテイラー展開の式を代入するのですね。
なんか誤解している気がするなあ。
No.2 の計算をしたのは、あなたが
黒線の関数のフーリエ近似である赤線の関数をテイラー展開しろと言ったからで、
やったことは No.3 で計算したテイラー展開だけ。
フーリエ近似を計算したのは、赤線の関数を特定するための作業に過ぎない。
テイラー展開をするためにフーリエ級数展開を経由したわけではない。
←No.5
フーリエ級数は、不連続点上ではもとの関数を再現しないこともあるけれど、
孤立不連続点の近傍でも、もとの関数へ収束する。
角のヒゲがとれないのは有限項で打ち切るからで、打ち切りをすれば
打ち切り誤差が生じるのは、どんな級数展開でもあたりまえだ。
すいません。
何か誤解していました。
すなわち、過去に言って頂いたように黒いグラフはテーラー展開はできない。しかしフーリエ級数展開はできる。
今回して頂いたことは、
黒いグラフをフーリエ級数展して得られた赤いグラフをテイラー展開して頂いたという事だと思いますが、
今回行って頂いたように、フーリエ級数展開をテイラー展開した場合は何が得られるのでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。
No.8
- 回答日時:
フーリエ展開とフーリエ近似の区別がついていないのかな?
赤線の関数は、黒線の関数を59次のフーリエ近似したものであって、
黒線の関数をフーリエ(無限)級数展開したものではありません。
この違いは重要で、No.3 の計算ができたのは
Σ[n=1...59の中の奇数] が有限項の和であるために
Σ[k=0→∞の中の奇数] と順序交換可能だったからです。
両方の Σ が無限級数だったら、この交換は可能ではありません。
黒線の関数をフーリエ級数展開を経由してタイラー展開したのではなく、
あくまで有限次のフーリエ近似である赤線の関数をテイラー展開したのだ
ということを繰り返し書きました。
赤線の関数はテイラー展開可能であり、黒線の関数はテイラー展開不能です。
テイラー展開された関数は、べき級数の収束円内で何度でも微分可能ですが、
黒線の関数は連続ですらないからです。
不連続な関数は、べき級数では表示できません。
飲み込みが悪くてすいません。
なるほど、赤いグラフはフーリエ級数展開を表し、今回作って頂いた奴は赤いグラフの近似式をテイラー展開とフーリエ級数展開の二つを使い作って頂いたのですね。
後補足で本当にすいません。
フーリエ級数展開からフーリエ余弦、正弦を導けるのでしょうか?
導ける場合は過程の計算を教えて下さい。
No.9
- 回答日時:
わざとやっていますね?
>なるほど、赤いグラフはフーリエ級数展開を表し、
No.8 のどこをどう読んだら、その返事になるんですか。
>赤線の関数は、黒線の関数を59次のフーリエ近似したものであって、
>黒線の関数をフーリエ(無限)級数展開したものではありません。
と書いたのですよ?
>今回作って頂いた奴は赤いグラフの近似式を
>テイラー展開とフーリエ級数展開の二つを使い作って頂いたのですね。
これも、No.6 の説明に全く逆行していますね。
No.2 の計算は、私がフーリエ近似を行ったのではなく、
あなたがテイラー展開してくれと言った赤線の関数が
黒線の関数のフーリエ近似だと質問の図に書いてあるから、
それを式にしただけです。
私が計算した No.3 は、テイラー展開ですから、
赤線の関数を近似したのではなく、赤線の関数そのものを表示しています。
赤線の関数が黒線の関数の近似なのは、私が近似したのではなく、
図に「フーリエ級数(59次高周波まで)」と書いてあるからですよ。
No.10
- 回答日時:
>フーリエ級数展開をやったのではなく、
>テイラー展開で近似して得られたのが赤いグラフなのですね。
ならないならない。
テイラー展開やったことないでしょ。
やってたらこんな発言はあり得ない。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 画像の式のなぜ緑の下線部の式の右辺は左辺のテイラー展開になるのでしょうか? テイラー展開はn=0〜∞ 2 2023/07/30 23:43
- 工学 画像においてtan x=sin x/cos xでありますが、 x=0の時は分母が0になり式が成立しな 3 2022/06/15 21:31
- 数学 複素関数と実関数のテーラー展開の違いについて 1 2022/08/09 06:18
- 数学 テイラー展開について r↑(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy))を点(x,y,f(x,y) 4 2023/03/08 01:06
- 工学 tanθは分母が0になることがある為、テイラーとマクローリン展開は出来ないと聞いたことがあるのですが 1 2022/06/15 20:24
- 数学 tanθは分母が0になることがある為、テイラーとマクローリン展開は出来ないと聞いたことがあるのですが 8 2022/06/15 18:23
- 数学 tan(z)をローラン展開して tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+… と 14 2023/01/17 10:33
- 数学 テイラー展開版は以下であっているでしょうか? 間違いがある場合は、どこが間違っているか教えて下さい。 1 2022/09/01 23:44
- 工学 画像はテイラー展開の公式です。 <マクローリン展開> f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-a 1 2022/09/01 22:56
- 数学 多変数関数の微分とテイラー展開について 5 2022/04/24 16:55
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
cos π/8 の求め方
-
数3の極限について教えてくださ...
-
cos(10π/3)は計算可能ですか?
-
重積分の変数変換後の積分範囲...
-
複素数のn乗根が解けません
-
極座標A(2,π/6)となる点を通り...
-
扇形の図形に長方形が内接
-
重積分について
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
数学の難問です。わかりません。
-
次の複素数を極形式で表せ。偏...
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
離散コサイン変換に関して、な...
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
複素平面の問題
-
数学
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
区間[0,1]で連続な関数f(x)に...
-
2重積分 変数変換をする場合 ...
-
sin(sinx)=cos(cosx)のグラフに...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
数3の極限について教えてくださ...
-
cos π/8 の求め方
-
数学IIIの積分の問題がわかりま...
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
積分計算(定積分)
-
複素数のn乗根が解けません
-
arccos0の値ってなぜπ/2なんで...
-
sinθ・cosθの積分に付いて
-
扇形の図形に長方形が内接
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
五芒星の角(?)の座標
-
重積分について
-
cos(10π/3)は計算可能ですか?
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
xsinx-cosx=0 の解と極限
-
回答者どもがなかなか答えられ...
-
1/(sinx+cosx)の積分
おすすめ情報
ちなみに、画像のグラフはテーラー展開なしでもフーリエ級数展開を使えば近似式が導けると思うのですが、その場合はどうやってフーリエ級数展開を使うのでしょうか?
くどくてすいません。
なぜ黒いグラフはテーラー展開できないのでしょうか?
詳しく教えて下さい。
すいません。
フーリエ級数展開をやったのではなく、
テイラー展開で近似して得られたのが赤いグラフなのですね。
ややこしくてすいません。
No.3にテイラー展開の後にフーリエ級数展開らしきものがあったため、フーリエ級数展開も使ったのかと思ってしまいました。
要はテイラー展開をしただけなのですね。
ならばテイラー展開ではなく、フーリエ級数展開した場合はhttps://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/yazaki/teaching/ …に書いてあるようなやり方になるのですね。