軌跡の問題で必要条件を求めた後、十分条件かどうかを確認する方法を教えて下さい。全ての点を１つ１つ確認

軌跡の問題で必要条件を求めた後、十分条件かどうかを確認する方法を教えて下さい。全ての点を１つ１つ確認するわけにもいかないですしどうすれば良いのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 問題です。

  
    補足日時：2020/01/05 17:12

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/05 18:37

なるほど。

＞ 点 (x,y) が x = f(t), y = g(t), t ∈ T とパラメータ表示されていて
＞ x, y が満たす方程式 F(x,y) = 0 を求めるような問題
でしたね。

-1 ≦ t ≦ 1　←[0]
x = t/2 - 1　←[1]
y = t^2 - 3t + 1　←[2]

必要条件としては、[1][2] から t を消去した y = (2x+2)^2 - 3(2x+2) + 1　←[3]
が挙げられます。しかし、[3] は P の軌跡として必要十分ではありません。
ｔ の変域が [0] に制限されているために、P の軌跡も制限を受けます。
具体的には、-1 ≦ t = 2x+2 ≦ 1 より -3/2 ≦ x ≦ -1/2 になります。　←[4]
こんどは、[0][1][2] ⇔ [3][4] です。
[4] を満たす x に対しては [1] によって対応する t が [0] の範囲に存在し、
[3] が成立していれば [2] も成り立つからです。

解説っぽい言葉を省いて答案風にすると...
[1][2] から t を消去すると [3] となる。
また、[0][1] より [4] である。
逆に、[3][4] が成立しているとき、対応する t を [1] によって採れば
[4][1] により [0] が、[3][1] により [2] が成立する。
このように、[3][4]を満たす x,y に対して [0][1][2] を満たす t が存在する。
以上より、[3][4] は P の軌跡として必要十分である。
(以下、[3][4] のグラフを図示しする)

No.1 末尾に書いたスタイルをとるならば...
[1][2] から t を消去すると [3] となる。
[0][1] より [4] である。
また、[3][4] を満たす (x,y) については
[0][1][2] を満たす t が存在する。
よって、P の軌跡は [3][4]。
(以下、[3][4] のグラフを図示しする)

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/01/05 18:46

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/05 17:09

＞ 具体例で教えて頂けないでしょうか？

それには、君が「軌跡の問題」の例を挙げようよ。
No.１ にも書いたが、ひとくちに軌跡の問題といっても
様々あって、どんな問題を念頭に質問しているのかが
その質問文からは判らない。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/05 00:03

全て同値変形だけで済めば、十分性の確認が

「各ステップが同値変形だから、全体としても同値」
のひとことで済んでしまうので、あと始末は楽です。

しかし、そういう楽な問題ばかりとは限らず、
各ステップが同値変形であることに拘ると
なかなか計算が進まない場合もあります。
それは、不必要な「縛りゲー」です。

必要条件で範囲を絞ってから最後に十分性を確認する
解き方のほうが基本だと思っておいたほうが、
解法の選択肢が増えて有用でしょう。

この回答へのお礼

そうなのですね...
十分性の確認するために
方程式f(t)=x,g(t)=yを解く事によって示せば良いというのがよくわからないです。具体例で教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2020/01/05 17:03

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/04 23:37

「軌跡の問題」というだけでは、具体的にどんな問題なのかがハッキリしませんが...

基本的に、求めた「必要条件」を満たす全ての点について
それが問題の軌跡に含まれるかどうかを確認するしかないです。
十分性を確認するとは、そういうことです。

１つ１つ確認するわけにはいかないので、「必要条件」を満たす点を
何か変数を使って表して、総称的に扱うことになります。
点 (x,y) が x = f(t), y = g(t), t ∈ T とパラメータ表示されていて
x, y が満たす方程式 F(x,y) = 0 を求めるような問題なら、
得られた F(x,y) = 0 を満たす全ての (x,y) に対して t ∈ T の範囲に対応する t がある
ことを、方程式 f(t) = x, g(t) = y を解くことで示せばよいのです。

あと、これは小賢しい処置ですが、
求めた「必要条件」が十分条件でもあることに自信はあるけれど
それを示している時間がないときには、説明抜きで
答案の末尾に「この方程式を満たす (x,y) には対応する t が存在するので、
この式が軌跡として必要十分である。」という呪文を書いておけば
点数になる場合があります。(テスト対策であって、数学じゃあないけどね)

この回答へのお礼

軌跡の問題では必要条件で範囲を絞る事は有用ではなく、同値変形していった方が良いのでしょうか？

お礼日時：2020/01/04 23:53