物理です。解けないので教えてください。 天井に一端を固定したバネ定数kの他先に質量mの鉄球をつなぐ。

物理です。解けないので教えてください。

天井に一端を固定したバネ定数kの他先に質量mの鉄球をつなぐ。自然長となるように支えたのち手を離したときの鉄球の最大の速さvmaxを求めよ。重力加速度gとする。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/01/23 23:37

空気の抵抗やばねの内部損失（ばねを構成する分子どうしの摩擦のようなもの）がないものとすれば、ばねと鉄球の系が持つ力学的エネルギーは

・基準点に対する重力の位置エネルギー
・ばねの伸び縮み（この問題の場合には「伸び」）による弾性エネルギー
・鉄球の運動エネルギー
であり、これらの「合計」が一定の値に保存されます。

鉄球が最下端に来たときの「高さ」を基準にして、手を離した位置（ばねの自然長）の高さを h とすると、

(i) ばねの自然長で手を離したとき
・位置エネルギー：Ep1 = mgh
・弾性エネルギー：Ed1 = 0
・運動エネルギー：Ek1 = 0

(ii) 最下端まで来たとき
・位置エネルギー：Ep2 = 0
・弾性エネルギー：Ed1 = (1/2)kh^2
・運動エネルギー：Ek1 = 0

この2つが等しいことから
　mgh = (1/2)kh^2
→　h(k･h - 2mg) = 0
h ≠ 0 なので
　k･h - 2mg = 0
→　h = 2mg/k　　　　　①

(iii) 最速になるときの最下端からの高さを x とすると、その位置では
・位置エネルギー：Ep3 = mgx
・弾性エネルギー：Ed3 = (1/2)k(h - x)^2
となるので、運動エネルギーは (i)(ii) から上記の位置エネルギーと弾性エネルギーを引いたものになり、①を使って
・運動エネルギー：
　　Ek3 = mgh - [mgx + (1/2)k(h - x)^2]
　　　　= mg･2mg/k - mgx - (1/2)k(2mg/k - x)^2
　　　　= 2(mg)^2 /k - mgx - (1/2)[4(mg)^2/k - 4mgx + kx^2)
　　　　= 2(mg)^2 /k - mgx - 2(mg)^2/k + 2mgx - (1/2)kx^2
　　　　= mgx - (1/2)kx^2
　　　　= -(1/2)k[x - mg/k]^2 + (1/2)(mg)^2 /k

これが最大になるのは
　x = mg/k
のときで（つまり、最下端までの高さ①のちょうど 1/2）、そのときの運動エネルギーは
　　Ek3 = (1/2)(mg)^2 /k
従って、そのときの速さ vmax は
　　Ek3 = (1/2)m(vmax)^2 = (1/2)(mg)^2 /k
より
　　(vmax)^2 = m･g^2 /k
→　vmax = g√(m/k)

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/01/23 20:49

自然長からの変位x(下方向が正)とすると

x=0を基準とする位置エネルギーUは

U=-mgx+(1/2)kx^2
これが最小になるのは
x=mg/k のときで

U=-(1/2)m^2・g^2/k

Tを運動工ネルギーとすると
T+U=0だからT=(1/2)m^2・g^2/k=(1/2)mv^2

v=√(m/k)g

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/23 19:32

力学的エネルギー保存の法則を使えば解けます