宇宙エレベーターのロープの条件。

といっても、材質とかの話ではありません。数学か物理の質問です。


質量がMで半径Rで、自転速度(角速度)がωの天体があるとします。

この天体の赤道に宇宙エレベーターのロープの端を固定します。

あとは、宇宙に向けてロープを伸ばします。

ロープは、ある程度まで長くすると、遠心力で、ピンとはった状態になります。(この状態になるまでにはいろいろアシストが必要でしょうが、それは無視します)

ロープは破断も伸縮もしないとします。

ロープは1mあたり、Pの質量があるとします。

ロープがピンと張るためには、ロープの長さはどのぐらいないといけませんか。

質問者からの補足コメント

• 質問は質問として、それとは別に補足します。
  
  ロープだけではエレベーターになりません。
  
  このエレベーターを質量mのエレベーターの箱がｈの高度まで上がったり下がったりします。
  箱の最高の加速度はaで、最高速度はvです。
  
  また、ロープだけを使うのは非効率なので、よくありません。ロープの端っこにNの質量の重りをつけます。これで、ロープの長さは節約できると思われます。
  
  重りをつける高度や重りの質量を教えてください。
  
  (安全率は無視して、ロープがピンと張るための最低限の値です)

    補足日時：2023/06/13 21:00

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/11 20:50

ロープ自体が発生する重力は無視できるものとし（ないと大変なんで、し）ます。

さて、普通の理科の問題に出てくるロープの話では、張力はロープ上のどこでも一定。しかしこの話の場合には、高さ（天体の中心からの距離）r によって、ロープにかかる張力の大きさT(r)が異なっています。

　ロープ上の位置rにある小部分(質量m)にかかる力は、天体の重力と、高さによる張力の大きさの違いとの合力ですから、その大きさは
　　F(r) = GMm/(r^2) - dT/dr
　この合力によって、この小部分が角速度ωで半径rの円軌道を描くわけですから、その向心力の大きさはFと同じである。
　　F(r) = mr(ω^2)
以上から
　　dT/dr = GMm/(r^2) - mr(ω^2)
という微分方程式が得られる。また、「天体」表面にロープの下端があるんだから
　　T(R) = 0
が境界条件です。

　この微分方程式は（変数分離型ってやつですから）簡単に解けて、
　　T(r) = (1/2)m(R^2 - r^2)(ω^2) - GMm(1/r - 1/R )
となる。
　ロープの長さLは、Tが0になる高さを計算すればわかる。すなわち、
　　T(L + R) = 0　(L≠0)
を解けば良いだけ。なお、R≦r≦ R+L においてT(r)≧0である（ピンと張る）ことは容易に確かめられます。

　ところで、ロープの張力Tが極大になる高さhは
　　(dT/dr)(h) = 0
微分方程式から、この高さhではロープの張力がなくても角速度ωの円軌道の向心力と重力が一致することがわかる。つまりhは静止衛星軌道の高さです。hの計算は簡単ですね。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/10 23:34

9.6万 kmです。

静止軌道距離の3倍弱。これより短いと落っこってきます。