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2つの重りがバネの両端に固定されたモデルを伸縮運動させた時、バネの伸びの時間変化とポテンシャルエネルギーの時間変化はどのようになるか。

A 回答 (2件)

共に0にするとバネが自然長となるように決めた重りの位置を


x、X, 速度を v、V、質量を m、Mとすると

運動方程式は、加速度をa、Aとすると
ma=-k(x-X)
MA=-k(X-x)

重りの重心位置 g=(mx+MX)/(m+M)
は等速運動するはずなので、 g=0 とする
慣性系を選べば

X=-(m/M)x と出来るので
V=-(m/M)v
A=-(m/M)a

運動方程式は

ma=-k(x+(m/M)x)=-k{(M+m)/M}x
a=-k{(m+M)/(mM)}x

で単振動になりますから
x=Asin(ωt+φ)
但し、ω=√(k(m+M)/(mM))
A、φは任意。

ポテンシャルエネルギーは
(1/2)k(x-X)^2=(1/2){(m+M)/M}^2x^2=(1/2){(m+M)/m}^2X^2
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バネは「伸び」だけではなく「縮み」もする。


時間変化は、運動方程式を立ててそれを解けば求められる。

摩擦や空気の抵抗を無視すれば、2つのおもりとバネで構成される系の重心の運動、2つのおもりの重心周りでの運動に関する力学的エネルギーは保存される。
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