絶対値記号のついた2次不等式についてです。 画像のように、範囲の中の絶対値記号(|x|)を外すと、な

絶対値記号のついた2次不等式についてです。

画像のように、範囲の中の絶対値記号(|x|)を外すと、なぜ0以上だったものが-3以上に変わるのでしょうか？

初めてのケースなので、とまどってます。

教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/11 14:45

０≦|x|≦3は　

0≦|x|…①
|x|≦3…②
の連立不等式という意味ですよね
標準的な考え方は場合分けです

x≧０の場合
|x|=xだから
①は　0≦ｘ　
これは、ｘ≧０の前提と完全に一致しているので　共通範囲をとると　0≦x…①'

②は　x≦３　前提であるx≧０との共通範囲をとって　0≦x≦３…②'
1'2'の共通範囲をとって　0≦x≦３…③（これは　x≧０の場合の結論）

x＜０の場合
|x|=-xだから
①は　0≦-x⇔0≧ｘ　前提x<0との共通範囲をとってx<0・・・①''
②は　-x≦３⇔x≧-3 前提との共通範囲をとって　-3≦x<0…②''
1"と2"の共通範囲をとって
-3≦x<0…④（x<0)の場合の結論

③④を統合して-3≦x≦３

ここで回答を一旦締めくくり、続きで他の考え方を紹介します

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/12 11:11

実際に

x=-3 のとき |x| = |-3| = 3
x=-2 のとき |x| = |-2| = 2
x=-1 のとき |x| = |-1| = 1
x=0 のとき |x| = |0| = 0
x=1 のとき |x| = |1| = 1
x=2 のとき |x| = |2| = 2
x=3 のとき |x| = |3| = 3

不等式を満たさない例として
x=-3.1 のとき |x| = |-3.1| = 3.1
x=4 のとき |x| = |4| = 4

とやってみればよい。
論より証拠。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/11 15:03

0以上だったものが-3以上に変わったわけではありません。

0以上だったのは |x|、-3以上なのは x で、|x| と x は異なる式です。
0 ≦ |x| ≦ 3 となる x は -3 ≦ x ≦ 3 の範囲だという話です。　←[1]

なぜそうなるかを見るためには、|x| の定義を確認しましょう。
x ≧ 0 のとき |x| = x,
x < 0 のとき |x| = -x. です。
これにより、0 ≦ x はどんな x についても常に成立し、
|x| ≦ 3 のほうは
x ≧ 0 のとき x ≦ 3,
x < 0 のとき -x ≦ 3. の意味になります。
整理すると 0 ≦ x ≦ 3 または -3 ≦ x < 0 ですから、
まとめれば -3 ≦ x ≦ 3 と書けます。　←[2]

質問文から見ると、あなたにとって大切なのは、
[2]以前にまず[1]をよく理解することではないかと思います。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/11 14:59

#1別解釈

絶対値とは　数直線上で原点からの距離を意味しますから
0≦|x|≦3とは　位置ｘの点と原点との距離をdとすれば
dが０～３の範囲にあるということを意味します
そのようになるのは　位置ｘの点が数直線上で原点より右側に０～３だけ離れている場合か（0≦x≦３である場合か）
位置ｘの点が数直線上で原点より左側に０～３だけ離れている場合か（-3≦x≦０である場合か）のいずれかですから
２つのケースを合わせれば　-3≦x≦３です
逆に位置ｘの点が　数直線上で-3～３の位置にあれば　距離も０以上３以下となるので　0≦|x|≦３となることが分かります

解釈２
0≦|x|≦3　の左辺　中辺　右辺は　いずれもマイナスではないでの　こういう時は2乗しても大小関係は変わりません
⇔0≦x²≦９ (∵ |x|²=x²)
これは　0≦x²…①
と　x²≦９　・・・2
の連立不等式です
①より　2乗すればどんな数ｘでもマイナスになることはないので①の解はすべての実数です
②より　x²-9=(x-3)(x+3)≦０だから
②の解は-3≦x≦３
共通範囲をとって　-3≦x≦３　と求められます