(高校数学・絶対値) これの(4)は(1)~(3)までと違って場合分けしないといけない理由を教えてく

(高校数学・絶対値)
これの(4)は(1)~(3)までと違って場合分けしないといけない理由を教えてください！
絶対値の外に文字がある場合は場合分けする、というのは聞いたことあるのですが、なんで外に文字があると分けないといけないのかが分からないですm(_ _)m

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/03 14:04

場合分けは基本ですので、(１)～(3)も場合分けで解くことが基本です

ただし、形によっては場合分けしないで解けるケースもあります
それが|x|<A⇔-A<x<A　や　|x|>A ⇔x<-AまたはA<x　
を利用する場合です
これは　Aが正の数であるときに利用できる形ですよね
ことによっては、場合分けより楽な場合が多いです
ただ、A<0の場合　|x|<Aを満たすxは存在しません・・・左辺＝|x|＝0以上の数　右辺=マイナスの数　ですからこの不等号の向き自体矛盾なのです
また　|x|>Aでは　左辺＝|x|＝0以上の数　右辺=マイナスの数　ですから　xにどんな数を当てはめても不等式は成り立っています
この場合の解はすべての実数です
このように　Aの正負は重要です


さて　(4)のような場合　3xはxの値によっては正にも負にもなるので
先ほどのようにAにあたる部分が常に正であるとは言えません
だから短絡的に|x|<A⇔-A<x<A　や　|x|>A ⇔x<-AまたはA<x　と同じようにすることはできないかもしれないのです
したがって、場合分けが無難です

ただし、よくよく考えると|x-4|<3xに限っては-3x<x-4<3xと同じです
というのも、　|x-4|<3xでは　3xの符号は一見不明のように思うかもしれませんが
|x-4|自体が０以上なので3xは正だからです
Aにあたる部分3xが正なので|x|<A⇔-A<x<Aの考え方が使えるというわけです

これが|x-4|>3xではこの考え方を使うわけにはいきません
右辺3xはマイナスである可能性もあるからです

この回答へのお礼

解決しました！
ありがとうございます(*´︶`*)

お礼日時：2020/04/03 15:01

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/04/03 14:13

絶対値の計算は 絶対値の中が正負で場合分けしなければなりません。

只、(1) ~ (3) の場合は 場合分けした結果が、「指針」に書いてあるように
決まっている と云う事です。(1)~(3) と (4) どちらも 考え方は 同じです。
(1) |x-2|<4 を 場合分けした解き方は、
x-2≧0 , つまり x≧2 のとき x-2<4 → x<6 、条件と合わせて 2≦x<6 。
x-2<0 , つまり x<2 のとき -(x-2)<4 → -x+2<4 → x>-2 条件と合わせて -2<x<2 。
二つを合わせて -2<x<6 となります。
これを指針の書き方にすると、-4<x-2<4 →　-4+2<x<4+2 → -2<x<6 となりますね。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/03 14:12

(1)〜(3)も場合分けするし、(4)の場合分けもそれと同じです。

(1)　|x-2| < 4
⇔　x-2 ≧ 0 のとき x-2 < 4,
　　x-2 < 0 のとき -(x-2) < 4.
⇔　(x-2 ≧ 0 かつ x-2 < 4) または (x-2 < 0 かつ -(x-2) < 4).
⇔　-2 < x < 6.

(4)　|x-4| < 3x
⇔　x-4 ≧ 0 のとき x-4 < 3x,
　　x-4 < 0 のとき -(x-4) < 3x.
⇔　(x-4 ≧ 0 かつ x-4 < 3x) または (x-4 < 0 かつ -(x-4) < 3x).
⇔　1 < x.

おかしな受験テクニックを使わず、絶対値の定義に沿って処理すれば
場合分けのしかたは同じなんです。