場合の数の質問です。 3と書かれたカードが2枚あり、1、2、4が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある

場合の数の質問です。
3と書かれたカードが2枚あり、1、2、4が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。この5枚を並べて一列の文字列を作る時、先頭と最後の文字のうち、少なくとも1文字が3になるのは何通りか？という問題で、
自分は、
　全体の場合の数は5の階乗割る 2で、60通り
また、先頭にも最後にも3が来ない場合の数は
3×2×3の階乗で36通り
よって60 -36で24通りになったのですが、
答えは42通りでした。どこが間違ってるか教えてください。

No.1 回答者： 涼鈴 回答日時： 2020/04/07 12:23

先頭にも最後にも3がないということは真ん中に3が2枚あります。

あと１枚真ん中にくる数を1、2、4から選び、3が重複した真ん中の並びを考えます。よって3×3の9通り。真ん中の並びが決定すれば、先頭と最後を入れ替えるので、9×2の18通りです。
60-18＝42通り

No.2 回答者： 涼鈴 回答日時： 2020/04/07 12:26

恐らく、3が重複してることを考えていなかったのでは？3が２枚重複しているので、3の階乗を2の階乗で割らないといけません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2020/04/07 14:52

No.3 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2020/04/07 12:28

> 全体の場合の数は5の階乗割る 2で、60通り

ここで2で割る理由は？

> また、先頭にも最後にも3が来ない場合の数は
> 3×2×3の階乗で36通り

ここは2で割らない？

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/07 12:33

3x2x3!が間違い

あなたの考え方に沿うなら
先頭の候補が（１，２，４）の３通り
（１，２，４）のうち先頭に使われなかった２つが最後の候補だから、最後は2通り
両端以外の3ヶ所は、先頭にも最後にも使われなかった(1,2,4)のうちの1つを
中央の3か所から1か所選んでおくことになる（残り2か所は自動的に３が置かれる）ので、その方法が３通り
ゆえに、両端が３以外のものは
3x2x3=1８通りとなります
（∴60-18=42)

この回答へのお礼

3が重複していることを忘れていました。
ありがとうございます

お礼日時：2020/04/07 14:51